《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

13. (2025·编写)已知三条线段的长分别为 $ 1cm $,$ 2cm $,$ \sqrt{2}cm $,如果另外一条线段与它们是成比例线段,那么另外一条线段的长为______．

答案： $ 2\sqrt{2} \text{ cm} $ 或 $ \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ cm} $ 或 $ \sqrt{2} \text{ cm} $

14. (1)(2025·编写)已知 $ a $,$ b $,$ c $ 是 $ \triangle ABC $ 的三边长,且 $ \frac{a}{5} = \frac{b}{4} = \frac{c}{6} $．
①求 $ \frac{2a + b}{3c} $ 的值；
②若 $ \triangle ABC $ 的周长为 $ 90 $,求 $ a $,$ b $,$ c $ 的值．
(2)(2025·编写)已知 $ a:b:c = 3:4:5 $．
①求代数式 $ \frac{3a - b + c}{2a + 3b - c} $ 的值；
②如果 $ 3a - b + c = 10 $,求 $ a $,$ b $,$ c $ 的值．

答案：
(1)【解】①设 $ \frac{a}{5} = \frac{b}{4} = \frac{c}{6} = k(k \neq 0) $,
则 $ a = 5k,b = 4k,c = 6k $,
所以 $ \frac{2a + b}{3c} = \frac{10k + 4k}{18k} = \frac{7}{9} $.
②根据题意,得 $ 5k + 4k + 6k = 90 $, 解得 $ k = 6 $,
所以 $ a = 30,b = 24,c = 36 $.
(2)【解】$ \because a:b:c = 3:4:5 $,
$ \therefore $ 设 $ a = 3k,b = 4k,c = 5k $.
① $ \frac{3a - b + c}{2a + 3b - c} = \frac{9k - 4k + 5k}{6k + 12k - 5k} = \frac{10}{13} $.
② $ \because 3a - b + c = 10 $,
$ \therefore 9k - 4k + 5k = 10 $, 解得 $ k = 1 $,
$ \therefore a = 3,b = 4,c = 5 $.

15. (1)(2025·编写)如果实数 $ x $,$ y $,$ z $ 满足关系式 $ \begin{cases} 2x + 3y - z = 0 & ① \\ 5x - 2y - 2z = 0 & ② \end{cases} $,求 $ x:y:z $ 的值．
(2)(2025·编写)若 $ \frac{a + 2}{3} = \frac{b}{4} = \frac{c + 5}{6} $,且 $ 2a - b + 3c = 21 $,试求 $ a:b:c $．

答案：
(1)【解】① $ \times 2 $, 得 $ 4x + 6y - 2z = 0 $ ③,
② $ - $ ③, 得 $ x - 8y = 0, \therefore x = 8y $.
把 $ x = 8y $ 代人方程①, 得 $ z = 19y $,
$ \therefore x:y:z = 8y:y:19y = 8:1:19 $.
(2)【解】设 $ \frac{a + 2}{3} = \frac{b}{4} = \frac{c + 5}{6} = k $,
则 $ a = 3k - 2,b = 4k,c = 6k - 5 $,
又 $ 2a - b + 3c = 21 $,
所以 $ 2(3k - 2) - 4k + 3(6k - 5) = 21 $,
解得 $ k = 2 $,
所以 $ a = 6 - 2 = 4,b = 8,c = 7 $,
所以 $ a:b:c = 4:8:7 $.