《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

13. (2025·青羊)如图,$\triangle ABC和\triangle DEF$都是等腰直角三角形,$∠BAC = ∠EDF = 90^{\circ}$,D为BC中点,连接AE,CE,$∠AEC = 120^{\circ}$,则$\frac{DE}{AE}$的最小值为____.

答案： $\frac{\sqrt{2}}{4}$

14. (2024·南充)如图,在矩形ABCD中,E为AD边上一点,$∠ABE = 30^{\circ}$,将$\triangle ABE$沿BE折叠得$\triangle FBE$,连接CF,DF.若CF平分$∠BCD$,$AB = 2$,求DF的长.

答案：
[解]如图,过点F作FG⊥BC于点G,FH⊥CD于点H.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵CF平分∠BCD,
∴HF=FG;
∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB=2,∠ABC=∠BCD=90°.由翻折可知,BF=AB=2、∠FBE=∠ABE=30°,
∴∠FBG=30°,
∴FG=$\frac{1}{2}$BF=1,
∴HF=1,CH=FG=1,
∴DH=CD−CH=1,
∴DF=$\sqrt{DH^{2} + HF^{2}} = \sqrt{2}$.

15. (2025·东部新区)如图1,在矩形纸片ABCD中,$AB = 3$,$AD = 5$,折叠纸片使点B落在AD上的点E处,折痕为PQ,过点E作$EF// AB$交PQ于点F.
(1) 求证：四边形BFEP为菱形；
(2) 如图2,若$AP:BP = 1:2$,求CQ的长.

答案：

(1)[证明]由折叠,可得BP=EP,FB=FE,∠BPF=∠EPF;
∵EF//AB,
∴∠BPF=∠PFE,
∴∠EPF=∠PFE,
∴PE=EF.
∴PB=PE=BF=EF,
∴四边形BFEP是菱形.
(2)[解]如图，过点Q作QH⊥AD于点H,
∴AH=BQ,HQ=AB=3.
　　　　　　　
∵$\frac{AP}{BP} = \frac{1}{2}$,AB=3,
∴AP=1,PE=BP=2.在Rt△APE中,由勾股定理,可得AE=$\sqrt{3}$;设BQ=x,则EH=$\sqrt{3}$−x.由折叠,可得EQ=BQ=x,在Rt△EHQ中,由勾股定理,得$x^{2} = 3^{2} + (\sqrt{3} - x)^{2}$,解得$x = 2\sqrt{3}$,
∴BQ=$2\sqrt{3}$.
∵BC=AD=5,
∴CQ=BC−BQ=5−$2\sqrt{3}$.