《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

1. 一元二次方程 $ a x ^ { 2 } + b x + c = 0 ( a \neq 0 ) $ 根的判别式为______.

答案： $\Delta = b^{2} - 4ac$

2. 一元二次方程 $ a x ^ { 2 } + b x + c = 0 ( a \neq 0 ) $ 根的判别方法：
(1) 当 $ \Delta $______0 时,方程有两个不相等的实数根；
(2) 当 $ \Delta $______0 时,方程有两个相等的实数根；
(3) 当 $ \Delta $______0 时,方程没有实数根.
以上三条,反之也成立.

答案：
(1) $＞$
(2) $=$
(3) $＜$

3. 一元二次方程 $ a x ^ { 2 } + b x + c = 0 ( a \neq 0 ) $ 有实数根 $ \Leftrightarrow $______.

答案： $\Delta \geq 0$

4. 正确使用判别式 $ \Delta = b ^ { 2 } - 4 a c $ 的前提是：把一元二次方程化成______.

答案： 一般形式

1. (1) (2025·编写) 一元二次方程 $ 3 x ^ { 2 } = 4 - 2 x $ 的解是______
(2) (2025·编写) 一元二次方程 $ x ^ { 2 } - 3 x - 2 = 0 $ 根的情况是______.

答案：
(1) $x_{1} = \frac{-1 + \sqrt{13}}{3}, x_{2} = \frac{-1 - \sqrt{13}}{3}$
(2) 有两个不相等的实数根

2. (1) (2025·编写) 一元二次方程 $ x ^ { 2 } - x - 1 = 0 $ 的根的情况是______.
(2) (2025·简阳) 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x ^ { 2 } + 2 m x + m ^ { 2 } - m + 3 = 0 $ 有实数根,则 $ m $ 的取值范围是______.

答案：
(1) 有两个不相等的实数根
(2) $m \geq 3$

3. (1) (2025·编写) 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ( m - 1 ) x ^ { 2 } + 2 x - 1 = 0 $ 有两个不相等的实数根,则 $ m $ 的取值范围是______.
(2) (2025·编写) 若关于 $ x $ 的方程 $ x ^ { 2 } + 3 x + k - 1 = 0 $ 有两个相等的实数根,则 $ k $ 的值为______.

答案：
(1) $m ＞ 0$ 且 $m \neq 1$
(2) $\frac{13}{4}$

4. (1) (2025·编写) 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ( k - 2 ) x ^ { 2 } - 2 k x + k = 6 $ 有实数根,则 $ k $ 的取值范围是______.
(2) (2025·编写) 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x ^ { 2 } + \sqrt { m } x + 1 = 0 $ 有两个相等的实数根,则 $ m $ 的取值为______.

答案：
(1) $k \geq \frac{3}{2}$ 且 $k \neq 2$
(2) 4

5. (2023·成华) 下列一元二次方程有实数解的是 ()
A. $ x ^ { 2 } + 2 = 0 $
B. $ 2 x ^ { 2 } - x + 1 = 0 $
C. $ x ^ { 2 } - 2 x + 2 = 0 $
D. $ x ^ { 2 } + 3 x - 2 = 0 $

答案： D