《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

8. (2025·编写)如图,在∠MON的两边上分别截取OA,OB,使OA= OB；分别以点A,B为圆心,OA长为半径作弧,两弧交于点C；连接AC,BC,AB,OC.若AB= 2cm,四边形OACB的面积为$4cm^2,$则OC的长为()

A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

答案： C

9. (1)(2022·广元)如图,在四边形ABCD中,AB//CD,AC平分∠DAB,AB= 2CD,E为AB的中点,连接CE.求证：四边形AECD为菱形.

(2)(2022·天府新区)如图,在四边形ABCD中,AC是对角线,AB//CD,延长CD至点E,使DE= CD,连接AE,且AE⊥AC,$AB= \frac{1}{2}EC.$求证：四边形ABCD是菱形.

答案：
(1)【证明】$\because E$为$AB$的中点，$\therefore AB = 2AE = 2BE$。$\because AB = 2CD$，$\therefore CD = AE$。
又$\because AE// CD$，$\therefore$四边形$AECD$是平行四边形。
$\because AC$平分$\angle DAB$，$\therefore \angle DAC = \angle EAC$。
$\because AB// CD$，$\therefore \angle DCA = \angle EAC$，
$\therefore \angle DCA = \angle DAC$，$\therefore AD = CD$。
又$\because$四边形$AECD$是平行四边形，
$\therefore$四边形$AECD$是菱形。
(2)【证明】$\because \angle CAE = 90^{\circ}$，$DE = CD$，
$\therefore AD = DC = DE = \frac{1}{2}CE$。
$\because AB = \frac{1}{2}EC$，$\therefore AB = AD = DC$。
$\because AB// DC$，$\therefore$四边形$ABCD$是平行四边形。
$\because AD = DC$，$\therefore$平行四边形$ABCD$是菱形。

10. (2023·西安)如图,在▱ABCD中,CE平分∠BCD,交AD于点E,DF平分∠ADC,交BC于点F,CE与DF交于点P,连接EF,BP.
(1)求证：四边形CDEF是菱形；
(2)若AB= 2,BC= 3,∠A= 120°,求BP的长.

答案：

(1)【证明】$\because$四边形$ABCD$为平行四边形，
$\therefore AD// BC$，$\therefore \angle EDF = \angle DFC$。
$\because DF$平分$\angle ADC$，$\therefore \angle EDF = \angle CDF$，
$\therefore \angle DFC = \angle CDF$，$\therefore CD = CF$。
同理可得$CD = DE$，$\therefore CF = DE$，且$CF// DE$，$\therefore$四边形$CDEF$为菱形。
(2)【解】如图，过点$P$作$PG\perp BC$于点$G$。

$\because AB = 2$，$BC = 3$，$\angle A = 120^{\circ}$，且四边形$CDEF$为菱形，
$\therefore CF = EF = CD = AB = 2$，$\angle ECF = \frac{1}{2}\angle BCD = \frac{1}{2}\angle A = 60^{\circ}$，
$\therefore \triangle CEF$为等边三角形，$\therefore CE = CF = 2$，$\therefore PC = \frac{1}{2}CE = 1$，
$\therefore CG = \frac{1}{2}PC = \frac{1}{2}$，$PG = \frac{\sqrt{3}}{2}PC = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore BG = BC - CG = 3 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$。
在$Rt\triangle BPG$中，由勾股定理可得$BP = \sqrt{BG^{2} + PG^{2}} = \sqrt{(\frac{5}{2})^{2} + (\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}} = \sqrt{7}$。

11. (2023·达州)如图,在四边形ABCD中,AB= BC= CD= DA= 5,AC= 6,E是直线AB,CD之间任意一点,连接AE,BE,CE,DE,则△EAB和△ECD的面积和等于____.

答案： 1. 首先，连接$BD$交$AC$于点$O$：
因为$AB = BC = CD = DA = 5$，所以四边形$ABCD$是菱形（四条边相等的四边形是菱形）。
根据菱形的性质，$AC\perp BD$，$AO=\frac{1}{2}AC$，$BO = DO$。
已知$AC = 6$，则$AO=\frac{1}{2}×6 = 3$。
在$Rt\triangle AOB$中，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（这里$c = AB = 5$，$a = AO = 3$，$b = BO$），可得$BO=\sqrt{AB^{2}-AO^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=\sqrt{25 - 9}=\sqrt{16}=4$，那么$BD = 2BO = 8$。
菱形$ABCD$的面积$S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}× AC× BD=\frac{1}{2}×6×8 = 24$。
2. 然后，设点$E$到$AB$的距离为$h_{1}$，点$E$到$CD$的距离为$h_{2}$：
因为$AB// CD$（菱形的对边平行），所以$h_{1}+h_{2}$等于$AB$与$CD$之间的距离（两平行线间的距离处处相等）。
$\triangle EAB$的面积$S_{\triangle EAB}=\frac{1}{2}AB× h_{1}$，$\triangle ECD$的面积$S_{\triangle ECD}=\frac{1}{2}CD× h_{2}$。
又因为$AB = CD = 5$，所以$S_{\triangle EAB}+S_{\triangle ECD}=\frac{1}{2}AB× h_{1}+\frac{1}{2}CD× h_{2}$。
把$AB = CD = 5$代入上式得$S_{\triangle EAB}+S_{\triangle ECD}=\frac{1}{2}AB×(h_{1}+h_{2})$。
而菱形$ABCD$中$AB$与$CD$之间的距离$d$满足$S_{菱形ABCD}=AB× d$，同时$S_{\triangle EAB}+S_{\triangle ECD}=\frac{1}{2}S_{菱形ABCD}$（因为$h_{1}+h_{2}=d$）。
所以$\triangle EAB$和$\triangle ECD$的面积和等于$12$。