《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

6. (2022·凉山州)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上。若DE//BC,$\frac{AD}{DB}= \frac{2}{3}$,DE= 6cm,则BC的长为()

A. 9cm
B. 12cm
C. 15cm
D. 18cm

答案： C

7. (2025·编写)如图,DE//BC,AD:DB= 2:3,EC= 6,则AE的长是()

A. 3
B. 4
C. 6
D. 10

答案： B

8. (2025·编写)如图,在△ABC中,D,E,F分别是边AB,AC,BC上的点,DE//BC,EF//AB,且AD:DB= 3:5,那么CF:CB= ()

A. 3:8
B. 3:5
C. 5:8
D. 2:5

答案： C

9. (1)(2022·武侯)如图,在△ABC中,D,E,F分别是AB,AC,BC上的点,且DE//BC,EF//AB。若BF:FC= 2:3,AB= 15,求BD的长。

(2)(2025·编写)如图,在△ABC中,DE//BC,EF//CD。求证：$\frac{AF}{AD}= \frac{AD}{AB}$。

答案：
(1)[解]
∵EF//AB，BF:FC=2:3，
∴$\frac{BF}{FC}=\frac{AE}{EC}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AC}{EC}=\frac{5}{3}$．
∵DE//BC，
∴$\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{EC}$，
∴$\frac{15}{BD}=\frac{5}{3}$，
∴BD=9．
(2)[证明]
∵DE//BC，EF//CD，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$，$\frac{AF}{AD}=\frac{AE}{AC}$，
∴$\frac{AF}{AD}=\frac{AD}{AB}$．

10. (2025·成华)如图,在矩形ABCD中,延长BC到点E,延长CB到点F,使BF= CE,AE,DF交于点G。
(1)求证：GE= GF；
(2)过点E作EF的垂线,交FD的延长线于点H,若$\frac{AB}{HE}= \frac{3}{4}$,AD= 4,求CE的长。

答案：
(1)[证明]
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABE=∠DCF=90°，AB=DC．
∵BF=CE，
∴BF+BC=CE+BC，即BE=CF．
在△ABE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}AB=DC,\\ \angle ABE=\angle DCF,\\ BE=CF,\end{array}\right.$
∴△ABE≌△DCF(SAS)，
∴∠AEB=∠DFC，
∴GF=GE．
(2)[解]
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABE=∠DCF=90°，AB=DC，BC=AD=4．
∵HE⊥EF，
∴DC//HE，
∴△CDF∽△EHF，
∴$\frac{DC}{HE}=\frac{CF}{EF}$，
∴$\frac{AB}{HE}=\frac{BC+BF}{BC+BF+CE}$．
∵BF=CE，$\frac{AB}{HE}=\frac{3}{4}$，
∴$\frac{4+CE}{4+2CE}=\frac{3}{4}$，
∴CE=2．