《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

13. (2025·编写)如图,以点$O$为位似中心,将边长为$256的正方形OABC$依次作位似变换,经第一次变化后得正方形$OA_1B_1C_1$,其边长$OA_1缩小为OA的\frac{1}{2}$,经第二次变化后得正方形$OA_2B_2C_2$,其边长$OA_2缩小为OA_1的\frac{1}{2}$,经第三次变化后得正方形$OA_3B_3C_3$,其边长$OA_3缩小为OA_2的\frac{1}{2}$,……依此规律,经第$n$次变化后,所得正方形$OA_nB_nC_n的边长为正方形OABC$边长的倒数,则$n = $____。

答案： 16

14. (2025·编写)如图,在四边形$ABCD$中,$AD = 2$,$AB = 5$,$BC = CD$,且$\angle BCD = 90^{\circ}$,求$AC$的最大值。

答案：
【解】如图，在直线$AB$的右侧作等腰直角三角形
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
$\triangle ABE$，使得$EB = EA$，$\angle AEB = 90^{\circ}$.
$\because AB = 5$，$\therefore AE = BE = \frac{5\sqrt{2}}{2}$.
$\because \angle ABE = \angle DBC = 45^{\circ}$，$\therefore \angle ABD = \angle EBC$.
$\because \frac{AB}{EB} = \frac{BD}{BC} = \sqrt{2}$，$\therefore \triangle ABD\backsim \triangle EBC$，
$\therefore \frac{AD}{EC} = \frac{AB}{EB} = \sqrt{2}$.
$\because AD = 2$，$\therefore EC = \sqrt{2}$.
$\because AC\leqslant AE + EC$，$\therefore AC\leqslant \frac{7\sqrt{2}}{2}$，$\therefore AC$的最大值为$\frac{7\sqrt{2}}{2}$.

15. (2025·编写)如图,在$\triangle ABC$中,$P'是边AB$上一点,四边形$P'Q'M'N'$是正方形,点$Q'$,$M'在边BC$上,点$N'在\triangle ABC$内。连接$BN'$,并延长交$AC于点N$,过点$N作NM\perp BC于点M$,$NP\perp MN交AB于点P$,$PQ\perp BC于点Q$。
(1)求证：四边形$PQMN$为正方形；
(2)若$\angle A = 90^{\circ}$,$AC = 1.5m$,$\triangle ABC的面积 = 1.5m^2$,求$PN$的长。

答案：

(1)【证明】$\because NM\perp BC$，$NP\perp MN$，$PQ\perp BC$，$\therefore$ 四边形$PQMN$为矩形. $\because$ 四边形$P'Q'M'N'$是正方形，$\therefore PN// P'N'$，$\therefore \frac{P'N'}{PN} = \frac{BN'}{BN}$. $\because MN// M'N'$，$\therefore \frac{M'N'}{MN} = \frac{BN'}{BN}$，$\therefore \frac{P'N'}{PN} = \frac{M'N'}{MN}$. 而$P'N' = M'N'$，$\therefore PN = MN$，$\therefore$ 四边形$PQMN$为正方形.
(2)【解】如图，作$AD\perp BC$于点$D$，$AD$交$PN$于点$E$.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
$\because \triangle ABC$的面积$= 1.5$，$\therefore \frac{1}{2}AB\cdot AC = 1.5$，
$\therefore AB = 2$，$\therefore BC = \sqrt{2^{2} + 1.5^{2}} = 2.5$. $\because \frac{1}{2}BC\cdot AD = 1.5$，$\therefore AD = \frac{2\times 1.5}{2.5} = \frac{6}{5}$. 设$PN = x$，则$PQ = DE = x$，$AE = \frac{6}{5} - x$. $\because PN// BC$，
$\therefore \triangle APN\backsim \triangle ABC$，$\therefore \frac{AE}{AD} = \frac{PN}{BC}$，即$\frac{\frac{6}{5} - x}{\frac{6}{5}} = \frac{x}{2.5}$，
解得$x = \frac{30}{37}$，即$PN$的长为$\frac{30}{37}m$.