《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

9. (2023·贵州)如图,已知在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,DE//AC,AE//BD.
(1)求证：四边形AODE是矩形；
(2)若AB= 6,∠BCD= 120°,求四边形AODE的面积.

答案：
(1)[证明]
∵$DE// AC,AE// BD$，
∴四边形 $AODE$ 是平行四边形.
∵在菱形 $ABCD$ 中，$AC\perp BD$，
∴$\angle AOD = 90^{\circ}$，
∴$\square AODE$ 是矩形.
(2)[解]
∵$\angle BCD = 120^{\circ},AB// CD$，
∴$\angle ABC = 180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$，
∵$AB = BC$，
∴$\triangle ABC$ 是等边三角形，
∴$OA=\frac{1}{2}\times6 = 3,OB=\frac{\sqrt{3}}{2}\times6 = 3\sqrt{3}$.
∵四边形 $ABCD$ 是菱形，
∴$OD = OB = 3\sqrt{3}$，
∴四边形 $AODE$ 的面积 $= OA\cdot OD = 3\times3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$.

10. (2023·内江)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AE⊥BC交CB的延长线于点E,CF//AE交AD的延长线于点F.
(1)求证：四边形AECF是矩形；
(2)若AE= 4,AD= 5,求AC的长.

答案：
(1)[证明]
∵四边形 $ABCD$ 是菱形，
∴$AD// BC$.
∵$CF// AE$，
∴四边形 $AECF$ 是平行四边形.
∵$AE\perp BC$，
∴$\angle AEC = 90^{\circ}$，
∴平行四边形 $AECF$ 是矩形.
(2)[解]
∵四边形 $ABCD$ 是菱形，
∴$AB = BC = AD = 5,OA = OC,AC\perp BD$.
∵$AE\perp BC$，
∴$\angle AEB = 90^{\circ}$，
∴$BE=\sqrt{AB^{2}-AE^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}} = 3$，
∴$CE = BE + BC = 3 + 5 = 8$，
∴$AC=\sqrt{AE^{2}+CE^{2}}=\sqrt{4^{2}+8^{2}} = 4\sqrt{5}$.

11. (2025·编写)如图,E,F,G,H分别是BD,BC,AC,AD的中点,下列结论：①EH= EF；②当AB= CD时,EG平分∠HGF；③当AB⊥CD时,四边形EFGH是矩形. 其中正确的结论序号是______.

答案： ②③

12. (2025·编写)如图,在四边形ABCD中,AB//CD,AB⊥BD,AB= 5,BD= 4,CD= 3,E是AC的中点,则BE的长为______.

答案： $\sqrt{5}$