《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

13. (2025·编写)已知$k$为整数,一元二次方程$(6 - k)(9 - k)x^{2}-(117 - 15k)x + 54 = 0$的解为整数,则$k$的值为______。

答案： 3，7或15

14. (2025·编写)已知关于$x的一元二次方程x^{2}-(k + 5)x + 6 + 2k = 0$。
(1)求证：此方程总有两个实数根；
(2)若此方程恰有一个根小于$-1$,求$k$的取值范围。

答案：
(1)【证明】$\because \Delta = (k + 5)^{2} - 4(6 + 2k) = k^{2} + 2k + 1 = (k + 1)^{2} \geq 0$，
$\therefore$此方程总有两个实数根。
(2)【解】由
(1)知方程总有两个实数根，
$\therefore x = \frac{k + 5 \pm (k + 1)}{2}$，$\therefore x_{1} = 2$，$x_{2} = k + 3$。
$\because$此方程恰有一个根小于-1，
$\therefore k + 3 ＜ -1$，解得$k ＜ -4$，
即$k$的取值范围为$k ＜ -4$。

15. (2022·重庆)已知$\triangle ABC的两边AB$,$AC(AB\lt AC)的长是关于x的一元二次方程x^{2}-(2k + 1)x + k^{2}+k = 0$的两个实数根,第三边长为$5$。
(1)当$k$为何值时,$\triangle ABC是以BC$为斜边的直角三角形？
(2)当$k$为何值时,$\triangle ABC$是等腰三角形？并求出此时$\triangle ABC$的周长。

答案： 【解】
(1)$\because AB$，$AC(AB ＜ AC)$的长是关于$x$的一元二次方程$x^{2} - (2k + 1)x + k^{2} + k = 0$的两个实数根，
即$(x - k - 1)(x - k) = 0$，
$\therefore AB = k$，$AC = k + 1$。
$\because \triangle ABC$是以$BC = 5$为斜边的直角三角形，
$\therefore AB^{2} + AC^{2} = 5^{2}$，
即$k^{2} + (k + 1)^{2} = 25$，$2k^{2} + 2k + 1 = 25$，
$\therefore k^{2} + k - 12 = 0$，
$\therefore k_{1} = 3$，$k_{2} = -4$(不合题意，舍去)。
即当$k = 3$时，$\triangle ABC$是以$BC$为斜边的直角三角形。
(2)$\because x^{2} - (2k + 1)x + k^{2} + k = 0$，
即$(x - k - 1)(x - k) = 0$，
$\therefore x_{1} = k + 1$，$x_{2} = k$。
若$k = 5$，则$k + 1 = 6$，此时$\triangle ABC$的周长$= 5 + 5 + 6 = 16$；
若$k + 1 = 5$，则$k = 4$，此时$\triangle ABC$的周长$= 5 + 5 + 4 = 14$。