《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

10. (2023·高新)如图,在矩形$ABCD$中,连接$AC$,$\angle CAD的平分线交CD于点E$,交$BC的延长线于点F$。在线段$EF上取点G$,使$\angle ECG= \angle CAE$。
(1)判断三角形$ACF$的形状,并证明；
(2)若$AD= 6$,$AB= 8$,求$CE及CG$的长。

答案：
(1)$\triangle ACF$是等腰三角形，理由如下：
　
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$AD // BC$，
∴$\angle DAF = \angle F$；
　
∵$AF$平分$\angle CAD$，
∴$\angle DAF = \angle CAF$，
　
∴$\angle CAF = \angle F$，
　
∴$AC = CF$，
∴$\triangle ACF$是等腰三角形。
(2)
∵四边形$ABCD$是矩形，
　
∴$\angle B = 90^{\circ}$，$BC = AD = 6$。
　　由勾股定理，得$AC = \sqrt{BC^{2} + AB^{2}} = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10$。由
(1)知，$CF = AC = 10$。
　
∵$AD // CF$，
∴$\triangle ADE \sim \triangle FCE$，
　
∴$\frac{AD}{FC} = \frac{DE}{CE}$，即$\frac{6}{10} = \frac{DE}{CE} = \frac{3}{5}$。
　
∵$CD = 8$，
∴$DE = 3$，$CE = 5$。
　　由勾股定理，得$AE = \sqrt{AD^{2} + DE^{2}} = \sqrt{6^{2} + 3^{2}} = 3\sqrt{5}$。
　
∵$\angle ECG = \angle CAE$，$\angle AGC = \angle EGC$，
　
∴$\triangle AGC \sim \triangle CGE$，
　
∴$\frac{AC}{CE} = \frac{CG}{EG} = \frac{AG}{CG}$，即$\frac{10}{5} = \frac{CG}{EG} = 2$。
　　设$EG = x$，$CG = 2x$，
∴$\frac{x + 3\sqrt{5}}{2x} = 2$，
　　解得$x = \sqrt{5}$，
∴$CG = 2x = 2\sqrt{5}$。

11. (2025·编写)已知$\frac{2a}{b+c}= \frac{2b}{a+c}= \frac{2c}{a+b}= k$,则$k$的值为____。

答案： 1或 - 2

12. (2025·编写)如图,在矩形$ABCD$中,$E是AD$边的中点,$BE\perp AC于点F$,连接$DF$。若$BF= \sqrt{6}$,$BC= 3\sqrt{2}$,则$DF= $____。

答案： 3

13. (2025·新都)如图,在矩形$ABCD$中,$AB= 4$,$BC= 3$,$E$,$F分别是AC$,$CD$上的动点,且$\frac{AE}{CF}= \frac{5}{3}$,连接$BE$,$BF$。当$E为AC$中点时,$BE+BF= $____；在整个运动过程中,$BE+\frac{5}{3}BF$的最小值为____。

答案： $\frac{5 + 3\sqrt{5}}{2}$ $\sqrt{65}$