《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

11. (2025·编写) 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ a x ^ { 2 } - x - \frac { 1 } { 4 } = 0 ( a \neq 0 ) $ 有两个不相等的实数根,则点 $ P ( a + 1, - a - 3 ) $ 在第______象限.

答案： 四

12. (2025·编写) 定义新运算“※”：对于实数 $ m, n, p, q $,有 $ [ m, p ] ※ [ q, n ] = m n + p q $,其中等式右边是通常的加法和乘法运算,例如： $ [ 2, 3 ] ※ [ 4, 5 ] = 2 × 5 + 3 × 4 = 22 $. 若关于 $ x $ 的方程 $ [ x ^ { 2 } + 1, x ] ※ [ 5 - 2 k, k ] = 0 $ 有两个实数根,则 $ k $ 的取值范围是______.

答案： $k \leq \frac{5}{4}$ 且 $k \neq 0$

13. (2025·编写) 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ a x ^ { 2 } + 2 x + 2 - c = 0 $ 有两个相等的实数根,则 $ \frac { 1 } { a } + c $ 的值等于______.

答案： 2

14. (1) (2024·凉山州) 已知 $ y ^ { 2 } - x = 0, x ^ { 2 } - 3 y ^ { 2 } + x - 3 = 0 $,求 $ x $ 的值.
(2) (2024·南充) 已知 $ x _ { 1 }, x _ { 2 } $ 是关于 $ x $ 的方程 $ x ^ { 2 } - 2 k x + k ^ { 2 } - k + 1 = 0 $ 的两个不相等的实数根.
① 求 $ k $ 的取值范围；
② 若 $ k ＜ 5 $,且 $ k, x _ { 1 }, x _ { 2 } $ 都是整数,求 $ k $ 的值.

答案：
(1)【解】
∵$y^{2} - x = 0$，$\therefore y^{2} = x \geq 0$。
∵$x^{2} - 3y^{2} + x - 3 = 0$，$\therefore x^{2} - 3x + x - 3 = 0$，
即 $x^{2} - 2x - 3 = 0$，解得 $x_{1} = 3, x_{2} = -1$ (舍去)，
即 $x$ 的值为 3。
(2)【解】①
∵原方程有两个不相等的实数根，$\therefore \Delta ＞ 0$，
$\therefore \Delta = (-2k)^{2} - 4 \times 1 \times (k^{2} - k + 1) = 4k^{2} - 4k^{2} + 4k - 4 = 4k - 4 ＞ 0$，解得 $k ＞ 1$。
②
∵$1 ＜ k ＜ 5$，$\therefore$ 整数 $k$ 的值为 $2, 3, 4$。
当 $k = 2$ 时，方程为 $x^{2} - 4x + 3 = 0$，解得 $x_{1} = 1, x_{2} = 3$；
当 $k = 3$ 或 $k = 4$ 时，方程的解不为整数。
综上所述，$k$ 的值为 2。

15. (2022·北京) 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x ^ { 2 } + ( 4 - m ) x + 3 - m = 0 $.
(1) 求证：该方程总有两个实数根；
(2) 若该方程恰有一个实数根为非负数,求 $ m $ 的取值范围.

答案：
(1)【证明】
∵$\Delta = (4 - m)^{2} - 4 \times 1 \times (3 - m) = m^{2} - 4m + 4 = (m - 2)^{2} \geq 0$，
∴此方程总有两个实数根。
(2)【解】$x^{2} + (4 - m)x + 3 - m = 0$，
$\therefore x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$
$= \frac{-(4 - m) \pm \sqrt{(4 - m)^{2} - 4(3 - m)}}{2}$
$= \frac{-(4 - m) \pm |m - 2|}{2}$，
$\therefore x_{1} = -1, x_{2} = m - 3$。
∵该方程恰有一个实数根为非负数，
$\therefore m - 3 \geq 0$，$\therefore m \geq 3$。