《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

6. (2025·编写)如图,$P是直角△ABC的斜边AB$上任意一点($A$,$B$两点除外),过点$P$作一条直线,使截得的三角形与$△ABC$相似,这样的直线可以作()

A. 4条
B. 3条
C. 2条
D. 1条

答案： B

7. (2025·编写)如图,在$△ABC$中,点$D在AB$边上,点$E在AC$边上,且$∠1 = ∠2 = ∠3$,则与$△ADE$相似的三角形的个数为()

A. 4
B. 3
C. 2
D. 1

答案： C

8. (2025·编写)如图,$P为线段AB$上一点,$AD与BC交于点E$,$∠CPD = ∠A = ∠B$,$BC与PD交于点F$,$AD交PC于点G$,则下列结论中错误的是()

A. $△APD \backsim △PGD$
B. $△APG \backsim △BFP$
C. $△PCF \backsim △BCP$
D. $△CGE \backsim △CBP$

答案： D

9. (2023·腾冲)如图,在平行四边形$ABCD$中,点$N在BC$上,连接$DN$,点$M在DN$上,连接$AM$,且$∠AMN = ∠B$。求证：$△ADM \backsim △DNC$。

答案： 【证明】
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $AB// CD$，$AD// BC$，
∴ $∠B + ∠C = 180^{\circ}$，$∠ADM = ∠DNC$；
∵ $∠AMN + ∠AMD = 180^{\circ}$，$∠AMN = ∠B$，
∴ $∠AMD = ∠C$，
∴ $△ADM\backsim △DNC$；

10. (2023·成华)如图,$E是正方形ABCD的对角线CA$延长线上一点,连接$BE$,将$BE绕点B顺时针旋转90^{\circ}至BF$,连接$EF$,$EF交AD于点G$。
(1)求证：$△ABE \backsim △AEG$；
(2)若正方形$ABCD$的边长为4,$G为AD$的中点,求$AE$的长。

答案：
(1)【证明】
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
∴ $AB = CB = AD = CD$，$∠ABC = ∠D = 90^{\circ}$，
∴ $∠BAC = ∠BCA = ∠DAC = ∠DCA = 45^{\circ}$，
∴ $∠BAE = ∠EAG = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$，
∵ 将 $BE$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $90^{\circ}$ 得到 $BF$，
∴ $BE = BF$，$∠EBF = 90^{\circ}$，
∴ $∠BEF = ∠F = 45^{\circ}$，
∴ $∠AEG = 45^{\circ} - ∠AEB$，
∵ $∠ABE = ∠BAC - ∠AEB = 45^{\circ} - ∠AEB$，
∴ $∠ABE = ∠AEG$，
∴ $△ABE\backsim △AEG$。
(2)【解】
∵ 正方形 $ABCD$ 的边长为 4，$G$ 为 $AD$ 的中点，
∴ $AB = AD = 4$，
∴ $AG = \frac{1}{2}AD = 2$。
∵ $△ABE\backsim △AEG$，
∴ $\frac{AE}{AG}=\frac{AB}{AE}$，
∴ $AE^{2} = AB\cdot AG = 4×2 = 8$，
∴ $AE = 2\sqrt{2}$。

11. (2023·新都)如图,在四边形$ABCD$中,对角线$AC与BD相交于点E$,$AC恰为∠BAD$的平分线,$∠ADB = ∠ACB$。已知$AB = 4$,$BC = 5$,$AC = 6$,则$BD$的长为

______。

答案： $\frac{45}{8}$