《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

7. (2025·编写)若$\triangle ABC与\triangle DEF$相似,且相似比为$1:3$,则$\triangle ABC与\triangle DEF$的面积比为()
A. $1:3$
B. $1:9$
C. $3:1$
D. $1:\sqrt{3}$

答案： B

8. (2025·编写)如图,有一块直角三角形余料$ABC$,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$G$,$D分别是AB$,$AC$边上的点,现从中切出一个矩形$DEFG$,其中点$E$,$F在BC$上,若$BF = 4.5\mathrm{cm}$,$CE = 2\mathrm{cm}$,则$GF$的长为()

A. $3\mathrm{cm}$
B. $2\sqrt{2}\mathrm{cm}$
C. $2.5\mathrm{cm}$
D. $3.5\mathrm{cm}$

答案： A

9. (2025·编写)如图,在锐角三角形$ABC$中,点$D$,$E分别在边AC$,$AB$上,$AG\perp BC于点G$,$AF\perp DE于点F$,$\angle EAF = \angle GAC$.
(1) 求证：$\triangle ADE\backsim\triangle ABC$；
(2) 若$AD = 3$,$AB = 5$,求$\frac{AF}{AG}$的值.

答案：
(1)【证明】$\because AG\perp BC,AF\perp DE,$
$\therefore \angle AFE=\angle AGC=90^{\circ}.$
$\because \angle EAF=\angle GAC,$
$\therefore \angle AED=\angle ACB.$
$\because \angle EAD=\angle BAC,$
$\therefore \triangle ADE\backsim\triangle ABC.$
(2)【解】由
(1)可知$\triangle ADE\backsim\triangle ABC,$
$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{3}{5}.$
由
(1)可知$\angle AFE=\angle AGC=90^{\circ},$
又$\angle EAF=\angle GAC,$
$\therefore \triangle EAF\backsim\triangle CAG,$
$\therefore \frac{AF}{AG}=\frac{AE}{AC},\therefore \frac{AF}{AG}=\frac{3}{5}.$

10. (2025·编写)有一块三角形铁片$ABC$,$\angle B = 90^{\circ}$,$AB = 4$,$BC = 3$,现要按图中方式把它加工成一个正方形$DEFG$(加工中的损耗忽略不计),求正方形$DEFG$的边长.

答案：
【解】如图,过点B作$BP\perp AC$,垂足为P,BP交DE于点Q.

$\because \angle B=90^{\circ},AB=4,BC=3,$
$\therefore AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=5.$
$\because S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BP,$
$\therefore BP=\frac{AB\cdot BC}{AC}=\frac{3\times4}{5}=\frac{12}{5}.$
$\because DE// AC,\therefore \angle BDE=\angle A,\angle BED=\angle C,$
$\therefore \triangle BDE\backsim\triangle BAC,\therefore \frac{DE}{AC}=\frac{BQ}{BP}.$
设$DE=x$,则$\frac{x}{5}=\frac{\frac{12}{5}-x}{\frac{12}{5}}$,解得$x=\frac{60}{37},$
$\therefore$ 正方形DEFG的边长为$\frac{60}{37}$.

11. (2025·编写)如图,有一块形状为$\mathrm{Rt}\triangle ABC$的斜板余料,$\angle A = 90^{\circ}$,$AB = 6\mathrm{cm}$,$AC = 8\mathrm{cm}$,要把它加工成一个形状为$\square DEFG$的工件,使$GF在边BC$上,$D$,$E两点分别在边AB$,$AC$上,若$D是边AB$的中点,则平行四边形$DEFG$的面积为____.

答案： $12cm^{2}$