《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

8. (2025·编写) 在四张背面完全相同的卡片上分别印有正方形、正五边形、正六边形、圆的图案,现将印有图案的一面朝下,混合后从中随机抽取两张,则抽到卡片上印有的图案都是中心对称图形的概率为 ()
A. $ \frac{1}{4} $
B. $ \frac{1}{3} $
C. $ \frac{1}{2} $
D. $ \frac{3}{4} $

答案： C

9. (2025·编写) 如图,甲、乙两个转盘均被分成 $ 3 $ 个面积相等的扇形,每个扇形中都标有相应的数字,同时转动两个转盘 (当指针指在边界线上时视为无效,需重新转动转盘),当转盘停止后,把甲、乙两个转盘中指针所指数字分别记为 $ x $,$ y $。请用树状图或列表法求点 $ (x, y) $ 落在平面直角坐标系第一象限内的概率。

答案：
[解]画树状图如图：

共有 9 种等可能的结果，点$(x,y)$落在平面直角坐标系第一象限内的结果有 4 种，
∴点$(x,y)$落在平面直角坐标系第一象限内的概率为$\frac{4}{9}$。

10. (2025·编写) 将 $ 4 $ 张分别写有数字 $ 1 $,$ 2 $,$ 3 $,$ 4 $ 的卡片 (卡片的形状、大小、质地都相同) 放在盒子中,搅匀后从中任意取出 $ 1 $ 张卡片,记录后放回、搅匀,再从中任意取出 $ 1 $ 张卡片。求下列事件发生的概率。(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程)
(1) 取出的 $ 2 $ 张卡片数字相同；
(2) 取出的 $ 2 $ 张卡片中,至少有 $ 1 $ 张卡片的数字为“$ 3 $”。

答案：
[解]
(1)画树状图如图：

共有 16 种等可能的结果，取出的 2 张卡片数字相同的结果有 4 种，
∴取出的 2 张卡片数字相同的概率为$\frac{4}{16} = \frac{1}{4}$。
(2)由
(1)可知，共有 16 种等可能的结果，取出的 2 张卡片中，至少有 1 张卡片的数字为“3”的结果有 7 种，
∴取出的 2 张卡片中，至少有 1 张卡片的数字为“3”的概率为$\frac{7}{16}$。

11. (2022·高新) 在五个完全相同的小球上分别写上 $ 1 $,$ 2 $,$ 3 $,$ 4 $,$ 5 $ 五个数字,然后装入一个不透明的口袋内搅匀,从口袋内取出一个球记下数字后作为点 $ P $ 的横坐标 $ x $,放回袋中搅匀,再从袋中取出一个球记下数字后作为点 $ P $ 的纵坐标 $ y $,则点 $ P(x, y) $ 落在直线 $ y = -x + 5 $ 上的概率是 。

答案： $\frac{4}{25}$

12. (2025·编写) 任取不等式组 $ \begin{cases} k - 3 \leq 0, \\ 2k + 7 ＞ 0 \end{cases} $ 的一个整数解,则能使关于 $ x $ 的方程 $ 2x + k = -1 $ 的解为非负数的概率为 。

答案： $\frac{3}{7}$

13. (2025·编写) 从长度分别为 $ 1 \text{cm} $,$ 3 \text{cm} $,$ 5 \text{cm} $,$ 6 \text{cm} $ 的四条线段中随机取出三条,则能够组成三角形的概率为 。

答案： $\frac{1}{4}$

14. (2024·德阳) 2024 年中国龙舟公开赛 (四川·德阳站),在德阳旌湖沱江桥水域举行,预计来自全国各地 $ 1000 $ 余名选手将参赛。旌湖两岸高颜值的绿色生态景观绿化带“德阳之窗”将迎接德阳市民以及来自全国各地的朋友近距离地观看比赛。比赛设置男子组、女子组、本地组三个组别,其中男子组要进行 A. $ 100 $ 米直道竞速赛,B. $ 200 $ 米直道竞速赛,C. $ 500 $ 米直道竞速赛,D. $ 3000 $ 米绕标赛。为了解德阳市民对于这四个比赛项目的关注程度,随机对部分市民进行了问卷调查 (参与问卷调查的每位市民只能选择其中一个项目),将调查得到的数据绘制成数据统计表和扇形统计图 (表、图都未完全制作完成)：
市民最关注的比赛项目人数统计表


(1) 直接写出 $ a $,$ b $ 的值和 D 所在扇形圆心角的度数；
(2) 若当天观看比赛的市民有 $ 10000 $ 人,试估计当天观看比赛的市民中关注哪个比赛项目的人数最多,大约有多少人；
(3) 为了缓解比赛当天城市交通压力,维护交通秩序,德阳交警旌阳支队派出 $ 4 $ 名交警 ($ 2 $ 男 $ 2 $ 女) 对该路段进行值守,若在 $ 4 $ 名交警中任意抽取 $ 2 $ 名交警安排在同一路口执勤,请用列举法 (画树状图或列表) 求出恰好抽到的两名交警性别相同的概率。

答案：
[解]
(1)由题意，得调查的总人数为$42 ÷ 28\% = 150$，
∴$a = 150 × 12\% = 18$，$b = 150 - 42 - 18 - 30 = 60$，D 所在扇形圆心角的度数为$360° × \frac{60}{150} = 144°$。
(2)当天观看比赛的市民中关注 D. 3000 米绕标赛比赛项目的人数最多，大约有$10000 × \frac{60}{150} = 4000$(人)。
(3)设 2 名男性交警用男₁，男₂表示，2 名女性交警用女₁，女₂表示。根据题意，画树状图如下图所示。

由树状图可知，共有 12 种等可能的结果，符合条件的结果有 4 种，
∴恰好抽到的两名交警性别相同的概率为$\frac{4}{12} = \frac{1}{3}$。