《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

11. (2024·南充) 如图,已知线段 $ AB $,按以下步骤作图：①过点 $ B $ 作 $ BC \perp AB $,使 $ BC= \frac{1}{2} AB $,连接 $ AC $；②以点 $ C $ 为圆心,以 $ BC $ 长为半径画弧,交 $ AC $ 于点 $ D $；③以点 $ A $ 为圆心,以 $ AD $ 长为半径画弧,交 $ AB $ 于点 $ E $。若 $ AE= mAB $,则 $ m $ 的值为____。

答案： $\frac {\sqrt {5}-1}{2}$

12. (2025·天府新区) 如图,正方形 $ ABCD $ 的边长为 $ 2 $,$ E $ 为线段 $ AD $ 的中点,$ H $ 为线段 $ AB $ 的黄金分割点 $ (AH＞BH) $,以 $ AH $ 为边作正方形 $ AHGF $,则 $ \frac{EF}{AE} $ 的值为____。

答案： $\sqrt {5}$

13. (2025·锦江) 如果一个等腰三角形的顶角为 $ 36^{\circ} $,那么可求其底边与腰之比等于 $ \frac{\sqrt{5}-1}{2} $,我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形。如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB= AC= 1 $,$ \angle A= 36^{\circ} $,将 $ \triangle ABC $ 看作第 $ 1 $ 个黄金三角形；作 $ \angle ABC $ 的平分线 $ BD $,交 $ AC $ 于点 $ D $,将 $ \triangle BCD $ 看作第 $ 2 $ 个黄金三角形；作 $ \angle BCD $ 的平分线 $ CE $,交 $ BD $ 于点 $ E $,将 $ \triangle CDE $ 看作第 $ 3 $ 个黄金三角形……以此类推,第 $ 2024 $ 个黄金三角形的腰长是____。

答案： $(\frac {\sqrt {5}-1}{2})^{2023}$

14. (2025·编写) 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB= AC= 1 $,$ \angle A= 36^{\circ} $,$ BD $ 平分 $ \angle ABC $ 交 $ AC $ 于点 $ D $。
(1) 求证：点 $ D $ 是线段 $ AC $ 的黄金分割点；
(2) 求线段 $ AD $ 的长度。

答案：
(1)【证明】
∵$AB = AC = 1$,
∴$∠ABC = ∠C=\frac {1}{2}(180^{\circ }-∠A)=\frac {1}{2}(180^{\circ }-36^{\circ })=72^{\circ }.$
∵$BD$平分$∠ABC$交$AC$于点$D$,
∴$∠ABD = ∠CBD=\frac {1}{2}∠ABC = 36^{\circ },$
∴$∠BDC = 180^{\circ }-36^{\circ }-72^{\circ } = 72^{\circ },$
∴$DA = DB,BD = BC,$
∴$AD = BD = BC$. 易得$△BDC\backsim △ABC,$
∴$BC:AC = CD:BC$,即$BC^{2}=CD\cdot AC,$
∴$AD^{2}=CD\cdot AC,$
∴点D是线段AC的黄金分割点.
(2)【解】设$AD = x$,则$CD = AC - AD = 1 - x.$
∵$AD^{2}=CD\cdot AC$,
∴$x^{2}=1 - x$,解得$x_{1}=\frac {\sqrt {5}-1}{2},x_{2}=\frac {-\sqrt {5}-1}{2}$(舍去),即AD的长为$\frac {\sqrt {5}-1}{2}.$

15. (2025·编写) 如图,在 $ \mathrm{Rt} \triangle ABC $ 中,$ \angle ACB= 90^{\circ} $,点 $ D $ 在 $ CB $ 上,连接 $ AD $,且 $ \angle BAD= 45^{\circ} $,$ AC= 14 $,$ CD= 6 $,求 $ BD $ 的长度。

答案： $BD$的长度为$29$。