《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

15. (1) (2025·编写) 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x ^ { 2 } - ( k + 3 ) x + k + 2 = 0 $,若方程有一个根为负数,求 $ k $ 的取值范围.
(2) (2025·编写) 关于 $ x $ 的方程 $ m ^ { 2 } x ^ { 2 } - 8 m x + 12 = 0 $ 至少有一个正整数解,且 $ m $ 是整数,求满足条件的 $ m $ 的值.

答案：
(1)【解】由求根公式，得 $ x = \frac { ( k + 3 ) \pm \sqrt { ( k + 1 ) ^ { 2 } } } { 2 } $，
$ \therefore x _ { 1 } = 1 , x _ { 2 } = k + 2 $．
$ \because $ 方程有一个根为负数，
$ \therefore k + 2 ＜ 0 , \therefore k ＜ - 2 $，
$ \therefore k $ 的取值范围是 $ k ＜ - 2 $．
(2)【解】当 $ m = 0 $ 时，此方程无解．
当 $ m \neq 0 $ 时，$ m ^ { 2 } x ^ { 2 } - 8 m x + 12 = 0 $，
$ \Delta = ( - 8 m ) ^ { 2 } - 4 m ^ { 2 } \times 12 = 16 m ^ { 2 } $，
$ \therefore x = \frac { 8 m \pm \sqrt { 16 m ^ { 2 } } } { 2 m ^ { 2 } } = \frac { 8 m \pm | 4 m | } { 2 m ^ { 2 } } $，
$ \therefore x _ { 1 } = \frac { 6 } { m } , x _ { 2 } = \frac { 2 } { m } $．
$ \because $ 关于 $ x $ 的方程 $ m ^ { 2 } x ^ { 2 } - 8 m x + 12 = 0 $ 至少有一个正整数解，且 $ m $ 是整数，
$ \therefore m ＞ 0 , \therefore \frac { 6 } { m } ＞ 0 , \frac { 2 } { m } ＞ 0 $．
当 $ \frac { 2 } { m } $ 是正整数时，$ \because m $ 是整数，$ \therefore m = 1 $ 或 $ m = 2 $．
当 $ \frac { 6 } { m } $ 是正整数时，$ \because m $ 是整数，$ \therefore m = 1 $ 或 $ m = 2 $ 或 $ m = 3 $ 或 $ m = 6 $．
$ \therefore m = 1 $ 或 $ m = 2 $ 或 $ m = 3 $ 或 $ m = 6 $．