《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

1. 如果 $ x_{1},x_{2} $ 是一元二次方程 $ ax^{2}+bx+c = 0(a \neq 0) $ 的两个实数根,则有 $ x_{1}+x_{2} = $ ,$ x_{1}x_{2} = $ 。

答案： $-\frac{b}{a}$ $\frac{c}{a}$

2. 一些常见的关于两根代数式的变形：
(1) $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2} = $ ；
(2) $ (x_{1}+a)(x_{2}+a) = $ ；
(3) $ \frac{x_{1}}{x_{2}}+\frac{x_{2}}{x_{1}} = $ ；
(4) $ x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2} = $ ；
(5) $ |x_{1}-x_{2}| = $ 。

答案：
(1) $(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}$
(2) $x_{1}x_{2}+a(x_{1}+x_{2})+a^{2}$
(3) $\frac{(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}}$
(4) $x_{1}x_{2}(x_{1}+x_{2})$
(5) $\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}$

3. 关于根的降次公式：若 $ ax_{1}^{2}+bx_{1}+c = 0(a \neq 0) $,则 $ x_{1}^{2} = $ 。

答案： $-\frac{bx_{1}}{a}-\frac{c}{a}$

1. (1)(2025·编写)若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ kx^{2}-2x - 1 = 0 $ 有两个不相等的实数根,则 $ k $ 的取值范围是 。
(2)(2025·编写)若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (k - 1)x^{2}+x + 1 = 0 $ 有实数根,则 $ k $ 的最大整数值是 。

答案：
(1) $k＞-1$ 且 $k≠0$
(2) 0

2. (1)(2022·眉山)设 $ x_{1},x_{2} $ 是方程 $ x^{2}+2x - 3 = 0 $ 的两个实数根,则 $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2} $ 的值为 。
(2)(2025·东部新区)已知方程 $ x^{2}-2x - 3 = 0 $ 的两个实数根为 $ x_{1},x_{2} $,则代数式 $ x_{1}+x_{2}-x_{1}x_{2} $ 的值为 。

答案：
(1) 10
(2) 5

3. (1)(2022·成华)已知 $ x_{1},x_{2} $ 是一元二次方程 $ x^{2}-4x + 2 = 0 $ 的两根,则 $ \frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}} $ 的值为 。
(2)(2024·眉山)已知方程 $ x^{2}+x - 2 = 0 $ 的两根分别为 $ x_{1},x_{2} $,则 $ \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}} $ 的值为 。

答案：
(1) 6
(2) $\frac{1}{2}$

4. (2024·泸州)已知 $ x_{1},x_{2} $ 是一元二次方程 $ x^{2}-3x - 5 = 0 $ 的两个实数根,则 $ (x_{1}-x_{2})^{2}+3x_{1}x_{2} $ 的值是 。

答案： 14

5. (2025·编写)已知一元二次方程 $ x^{2}-3x + 2 = 0 $ 的两个根为 $ x_{1},x_{2} $,则 $ \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}} $ 的值为 ()
A. $ -3 $
B. $ -\frac{2}{3} $
C. $ 1 $
D. $ \frac{3}{2} $

答案： D

6. (2025·编写)关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-4x + m + 2 = 0 $ 有一个根为 $ -1 $,则另一个根为 ()
A. $ 2 $
B. $ -2 $
C. $ 5 $
D. $ -5 $

答案： C

7. (2025·编写)设 $ x_{1},x_{2} $ 是一元二次方程 $ x^{2}-2x - 3 = 0 $ 的两根,则 $ \frac{3}{x_{1}}+\frac{3}{x_{2}} = $ ()
A. $ -2 $
B. $ 2 $
C. $ 3 $
D. $ -3 $

答案： A