《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

7. (2025·编写)已知四边形EFGH是平行四边形,则下列结论中正确的是()
A. 当EG= FH时,它是菱形
B. 当EG⊥FH时,它是矩形
C. 当EF= FG时,它是菱形
D. 当∠EFG= 90°时,它是正方形

答案： C

8. (2025·东部新区)下列说法中,正确的是()
A. 四个角相等的四边形是矩形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 四条边相等的四边形是正方形

答案： A

9. (2022·渝中)如图,在四边形ABCD中,AB= BC,对角线BD平分∠ABC,P是BD上一点,过点P作PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别为点M,N。
(1)求证：∠ADB= ∠CDB；
(2)若∠ADC= 90°,求证：四边形MPND是正方形。

答案： 【证明】
(1)$\because$对角线$BD$平分$\angle ABC$，
$\therefore \angle ABD = \angle CBD$。$\because AB = CB$，$BD = BD$，
$\therefore \triangle ABD \cong \triangle CBD(SAS)$，$\therefore \angle ADB = \angle CDB$。
(2)$\because PM \perp AD$，$PN \perp CD$，$\therefore \angle PMD = \angle PND = 90^{\circ}$。
$\because \angle ADC = 90^{\circ}$，$\therefore$四边形$MPND$是矩形。
$\because \angle ADB = \angle CDB$，$PM \perp AD$，$PN \perp CD$，
$\therefore PM = PN$，$\therefore$四边形$MPND$是正方形。

10. (2025·青羊)如图,四边形AECF是菱形,对角线AC,EF交于点O,D,B是对角线EF所在直线上两点,且DE= BF,连接AD,AB,CD,CB,已知∠ADO= 45°。
(1)求证：四边形ABCD是正方形；
(2)若正方形ABCD的面积为72,BF= 4,求点F到线段AE的距离。

答案：
(1)【证明】$\because$菱形$AECF$的对角线$AC$，$EF$交于点$O$，
$\therefore AC \perp EF$，$OA = OC$，
$OE = OF$。
$\because DE = BF$，$\therefore BO = DO$。
又$\because AC \perp BD$，
$\therefore$四边形$ABCD$是菱形。
$\because \angle ADO = 45^{\circ}$，
$\therefore \angle DAO = \angle ADO = 45^{\circ}$，
$\therefore AO = DO$，$\therefore AC = BD$，
$\therefore$四边形$ABCD$是正方形。
(2)【解】$\because$正方形$ABCD$的面积为$72$，
$\therefore \frac{1}{2}AC \cdot BD = 72$，$\therefore \frac{1}{2} \times 4BO^{2} = 72$，
$\therefore BO = DO = CO = AO = 6$，$\therefore AC = 12$。
$\because BF = 4$，$\therefore OF = BO - BF = 2$。
$\because$四边形$AECF$是菱形，
$\therefore EF = 2EO = 2OF = 4$，$AC \perp EF$，
$\therefore$菱形$AFCE$的面积$ = \frac{1}{2}AC \cdot EF = 24$。
在$Rt\triangle AOE$中，$AE = \sqrt{AO^{2} + OE^{2}} = 2\sqrt{10}$。
设点$F$到线段$AE$的距离为$h$，
则$AE \cdot h = 24$，即$2\sqrt{10}h = 24$，$\therefore h = \frac{6\sqrt{10}}{5}$，
即点$F$到线段$AE$的距离为$\frac{6\sqrt{10}}{5}$。

11. (2025·编写)如图,正方形ABCD的边长为2,E为AB边的中点,点F在BC边上,点B关于直线EF的对称点记为点B',连接B'D,B'E,B'F。当点F在BC边上移动使得四边形BEB'F成为正方形时,B'D的长为______。

答案： $ \sqrt{2} $