《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

10. (2025·编写) 用指定方法解方程：
(1) $ 2 x ^ { 2 } + 4 x - 3 = 0 $(配方法解)；
(2) $ 5 x ^ { 2 } - 8 x = - 2 $(公式法解)；
(3) $ ( 2 x - 1 ) ^ { 2 } = x ( 3 x + 2 ) - 7 $(公式法解)；
(4) $ 2 x ^ { 2 } - 3 x + \frac { 1 } { 2 } = 0 $(配方法解).

答案：
(1)【解】$ \because 2 x ^ { 2 } + 4 x - 3 = 0 $，
$ \therefore x ^ { 2 } + 2 x = \frac { 3 } { 2 } , \therefore ( x + 1 ) ^ { 2 } = \frac { 5 } { 2 } $，
$ \therefore x + 1 = \pm \frac { \sqrt { 10 } } { 2 } , \therefore x = - 1 \pm \frac { \sqrt { 10 } } { 2 } $，
即 $ x _ { 1 } = - 1 + \frac { \sqrt { 10 } } { 2 } $，
$ x _ { 2 } = - 1 - \frac { \sqrt { 10 } } { 2 } $．
(2)【解】$ \because 5 x ^ { 2 } - 8 x = - 2 $，即 $ 5 x ^ { 2 } - 8 x + 2 = 0 $，
$ \therefore a = 5 , b = - 8 , c = 2 $，
$ \therefore \Delta = 64 - 4 \times 5 \times 2 = 24 $，
$ \therefore x = \frac { 8 \pm \sqrt { 24 } } { 10 } = \frac { 4 \pm \sqrt { 6 } } { 5 } $，即 $ x _ { 1 } = \frac { 4 + \sqrt { 6 } } { 5 } , x _ { 2 } = \frac { 4 - \sqrt { 6 } } { 5 } $．
(3)【解】原方程化为 $ x ^ { 2 } - 6 x + 8 = 0 $，
$ \therefore a = 1 , b = - 6 , c = 8 $，
$ \Delta = 36 - 4 \times 1 \times 8 = 4 $，
$ \therefore x = \frac { 6 \pm \sqrt { 4 } } { 2 \times 1 } = \frac { 6 \pm 2 } { 2 } $，
$ \therefore x _ { 1 } = 2 , x _ { 2 } = 4 $．
(4)【解】$ \because 2 x ^ { 2 } - 3 x + \frac { 1 } { 2 } = 0 $，
$ \therefore x ^ { 2 } - \frac { 3 } { 2 } x = - \frac { 1 } { 4 } , \therefore ( x - \frac { 3 } { 4 } ) ^ { 2 } = \frac { 5 } { 16 } $，
$ \therefore x = \frac { 3 \pm \sqrt { 5 } } { 4 } , \therefore x _ { 1 } = \frac { 3 + \sqrt { 5 } } { 4 } , x _ { 2 } = \frac { 3 - \sqrt { 5 } } { 4 } $．

11. (1) (2025·编写) 已知 $ \alpha $ 是一元二次方程 $ x ^ { 2 } - x - 1 = 0 $ 较大的根,则 $ \alpha $ 的估值最接近的整数是______.
(2) (2025·编写) 若 $ a ^ { 2 } + a b - b ^ { 2 } = 0 $ 且 $ a b \neq 0 $,则 $ \frac { b } { a } $ 的值为______.

答案：
(1) $ 2 $
(2) $ \frac { 1 \pm \sqrt { 5 } } { 2 } $

12. (1) (2025·编写) 方程 $ x ^ { 2 } - 3 | x | - 2 = 0 $ 的解是______.
(2) (2025·编写) 方程 $ \frac { 2 } { x ^ { 2 } - 4 } - \frac { x } { x - 2 } = 1 $ 的解是______.

答案：
(1) $ x _ { 1 } = \frac { 3 + \sqrt { 17 } } { 2 } , x _ { 2 } = \frac { - 3 - \sqrt { 17 } } { 2 } $
(2) $ \frac { - 1 \pm \sqrt { 13 } } { 2 } $

13. (2025·编写) 若 $ a + b + c = 0 , 4 a - 2 b + c = 0 $,则关于 $ x $ 的一元二次方程 $ a ( x - 1 ) ^ { 2 } + b x = b - c $ 的解为______.

答案： $ x = - 1 $或$ x = 2 $

14. (2025·编写) 如图1,用篱笆靠墙围成矩形花圃 $ A B C D $,墙可利用的最大长度为15米,一面利用旧墙,其余三面用篱笆围成,篱笆总长为24米.
(1) 若围成的花圃面积为40平方米,求 $ B C $ 的长.
(2) 如图2,若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形,且围成的花圃面积为50平方米,请你判断,能否成功围成花圃？如果能,求 $ B C $ 的长；如果不能,请说明理由.

答案： 【解】
(1)设 $ BC $ 的长为 $ x $ 米，则 $ AB $ 的长为 $ \frac { 24 - x } { 2 } $ 米．
根据题意，得 $ x \cdot \frac { 24 - x } { 2 } = 40 $，整理得 $ x ^ { 2 } - 24 x + 80 = 0 $，
解得 $ x _ { 1 } = 4 , x _ { 2 } = 20 $．
$ \because 20 ＞ 15 , \therefore x _ { 2 } = 20 $ 舍去．
$ \therefore BC $ 的长为 $ 4 $ 米．
(2)不能围成．理由如下：设 $ BC $ 的长为 $ y $ 米，则 $ AB $ 的长为 $ \frac { 24 - y } { 3 } $ 米．
根据题意，得 $ y \cdot \frac { 24 - y } { 3 } = 50 $，整理得 $ y ^ { 2 } - 24 y + 150 = 0 $．
$ \because \Delta = ( - 24 ) ^ { 2 } - 4 \times 1 \times 150 = - 24 ＜ 0 $，
$ \therefore $ 该方程无实数根．
$ \therefore $ 不能围成面积为 $ 50 $ 平方米的花圃．