《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

1. 一元二次方程 $ a x ^ { 2 } + b x + c = 0 ( a \neq 0 ) $ 的求根公式是______.

答案： $ x = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } ( b ^ { 2 } - 4 a c \geq 0 ) $

2. 用公式法求解一元二次方程的一般步骤：
(1) 把一元二次方程化成______的形式,并确定系数 $ a , b , c $；
(2) 求出 $ b ^ { 2 } - 4 a c $ 的值(当 $ b ^ { 2 } - 4 a c ＜ 0 $ 时,$ \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } $ 无意义,方程无实数根)；
(3) 根据公式______求方程的根.

答案：
(1) $ a x ^ { 2 } + b x + c = 0 ( a \neq 0 ) $
(3) $ x = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } ( b ^ { 2 } - 4 a c \geq 0 ) $

1. (1) (2025·编写) 用公式法解一元二次方程 $ 3 x ^ { 2 } - 3 x = 1 $ 时,化方程为一般式,其中 $ a , b , c $ 依次为______.
(2) (2025·编写) 用公式法解方程 $ ( x + 2 ) ^ { 2 } = 6 ( x + 2 ) - 4 $ 时,$ b ^ { 2 } - 4 a c $ 的值为______.

答案：
(1) $ 3 , - 3 , - 1 $
(2) $ 20 $

2. (1) (2025·编写) 用公式法解方程 $ x ( x + 1 ) - 1 = 0 $ 时,$ b ^ { 2 } - 4 a c $ 的值为______.
(2) (2025·编写) 一元二次方程 $ 4 x ^ { 2 } - x = 1 $ 的解是 $ x _ { 1 } = $______.

答案：
(1) $ 5 $
(2) $ \frac { 1 + \sqrt { 17 } } { 8 } $，$ \frac { 1 - \sqrt { 17 } } { 8 } $

3. (1) (2025·编写) 一元二次方程 $ x ^ { 2 } - x - 1 = 0 $ 的根是______.
(2) (2025·编写) 方程 $ ( x + 1 ) ( x - 3 ) = 5 $ 的解是______.

答案：
(1) $ x _ { 1 } = \frac { 1 + \sqrt { 5 } } { 2 } , x _ { 2 } = \frac { 1 - \sqrt { 5 } } { 2 } $
(2) $ x _ { 1 } = 4 $，$ x _ { 2 } = - 2 $

4. (2025·编写) 一元二次方程 $ x ^ { 2 } + 2 \sqrt { 2 } x - 6 = 0 $ 的根是______.

答案： $ x _ { 1 } = \sqrt { 2 } , x _ { 2 } = - 3 \sqrt { 2 } $

5. (2025·编写) 方程 $ x ^ { 2 } - 3 x = 2 $ 与求根公式中相对应的 $ a , b , c $ 的值分别是()
A. $ 0 , - 3 , 2 $
B. $ 0 , - 3 , - 2 $
C. $ 1 , - 3 , - 2 $
D. $ 1 , - 3 , 2 $

答案： C

6. (2025·编写) 方程 $ x ^ { 2 } + x - 1 = 0 $ 的一个根是()
A. $ 1 - \sqrt { 5 } $
B. $ \frac { 1 - \sqrt { 5 } } { 2 } $
C. $ - 1 + \sqrt { 5 } $
D. $ \frac { \sqrt { 5 } - 1 } { 2 } $

答案： D

7. (2025·编写) 设 $ x _ { 1 } $ 为一元二次方程 $ 2 x ^ { 2 } - 4 x = \frac { 5 } { 4 } $ 较小的根,则()
A. $ 0 ＜ x _ { 1 } ＜ 1 $
B. $ - 1 ＜ x _ { 1 } ＜ 0 $
C. $ - 2 ＜ x _ { 1 } ＜ - 1 $
D. $ - 5 ＜ x _ { 1 } ＜ - \frac { 9 } { 2 } $

答案： B

8. (2023·绵阳) 若 $ x = 3 $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x ^ { 2 } - \frac { 5 } { 3 } a x - a ^ { 2 } = 0 ( a ＞ 0 ) $ 的一个根,则下面对 $ a $ 的值估计正确的是()
A. $ \frac { 1 } { 2 } ＜ a ＜ 1 $
B. $ 1 ＜ a ＜ \frac { 3 } { 2 } $
C. $ \frac { 3 } { 2 } ＜ a ＜ 2 $
D. $ 2 ＜ a ＜ \frac { 5 } { 2 } $

答案： B

9. (2025·编写) 用公式法解下列方程：
(1) $ 3 x ^ { 2 } - x - 1 = 0 $；
(2) $ 2 x ^ { 2 } - 3 x = 1 - 2 x $；
(3) $ x ^ { 2 } - 3 x - 2 = 0 $；
(4) $ 8 - ( x - 1 ) ( x + 2 ) = 4 $.

答案：
(1)【解】由题意可知 $ a = 3 , b = - 1 , c = - 1 $，
$ \therefore \Delta = 1 - 4 \times 3 \times ( - 1 ) = 1 + 12 = 13 $，
$ \therefore x = \frac { 1 \pm \sqrt { 13 } } { 6 } $，
$ \therefore x _ { 1 } = \frac { 1 + \sqrt { 13 } } { 6 } , x _ { 2 } = \frac { 1 - \sqrt { 13 } } { 6 } $．
(2)【解】原方程化为 $ 2 x ^ { 2 } - x - 1 = 0 $，
$ \because a = 2 , b = - 1 , c = - 1 $，
$ \therefore \Delta = b ^ { 2 } - 4 a c = ( - 1 ) ^ { 2 } - 4 \times 2 \times ( - 1 ) = 9 $，
$ \therefore x = \frac { 1 \pm \sqrt { 9 } } { 2 \times 2 } = \frac { 1 \pm 3 } { 4 } $，
$ \therefore x _ { 1 } = 1 , x _ { 2 } = - \frac { 1 } { 2 } $．
(3)【解】$ \because a = 1 , b = - 3 , c = - 2 $，
$ \therefore \Delta = b ^ { 2 } - 4 a c = ( - 3 ) ^ { 2 } - 4 \times 1 \times ( - 2 ) = 17 $，
$ \therefore x _ { 1 } = \frac { 3 + \sqrt { 17 } } { 2 } , x _ { 2 } = \frac { 3 - \sqrt { 17 } } { 2 } $．
(4)【解】原方程化为 $ x ^ { 2 } + x - 6 = 0 , \therefore a = 1 , b = 1 , c = - 6 $，
$ \therefore \Delta = b ^ { 2 } - 4 a c = 1 ^ { 2 } - 4 \times 1 \times ( - 6 ) = 25 $，
$ \therefore x = \frac { - 1 \pm \sqrt { 25 } } { 2 \times 1 } = \frac { - 1 \pm 5 } { 2 } $，
$ \therefore x _ { 1 } = - 3 , x _ { 2 } = 2 $．