《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

8. (2025·编写)如图,已知四边形$ABFE\backsim四边形EFCD$,$AB= 2$,$EF= 3$,则$DC$的长是 ()

A. $6$
B. $\frac{4}{3}$
C. $\frac{9}{2}$
D. $4$

答案： C

9. (1)(2022·雅安)如图,在四边形$ABCD$中,$AD// BC$,$E是AB$上的一点,$EF// BC$,并且$EF将四边形ABCD分成的两个四边形AEFD$,$EBCF$相似。若$AD= 4$,$BC= 9$,求$\frac{AE}{EB}$的值。

(2)(2025·编写)如图,四边形$ABCD\backsim四边形EFGH$,$\angle A= 70^{\circ}$,$\angle B= 80^{\circ}$,$\angle E= 70^{\circ}$,$\angle H= 120^{\circ}$,$AD= 18$,$EF= 5$,$FG= 7$,$EH= 6$,求$\angle G的度数和AB$,$BC$的长。

答案：
(1)[解]
∵四边形AEFD∽四边形EBCF，
∴$\frac{AD}{EF}=\frac{EF}{BC}=\frac{AE}{EB}$，即 $\frac{4}{EF}=\frac{EF}{9}$，
解得EF = 6，
∴$\frac{AE}{EB}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
(2)[解]
∵四边形ABCD∽四边形EFGH，
∴$\angle A=\angle E = 70^{\circ}$，$\angle B=\angle F = 80^{\circ}$，$\angle H = 120^{\circ}$。
∵$\angle E+\angle F+\angle G+\angle H = 360^{\circ}$，
∴$\angle G = 90^{\circ}$。
∵四边形ABCD∽四边形EFGH，
∴$\frac{AD}{EH}=\frac{AB}{EF}$，
∴$\frac{18}{6}=\frac{AB}{5}$，
∴AB = 15。
同理，$\frac{AD}{EH}=\frac{BC}{FG}$，即 $\frac{18}{6}=\frac{BC}{7}$，
解得BC = 21。

10. (1)(2025·编写)如图,在矩形$ABCD$中,$AD= 2$,$AB= 4$,剪去一个矩形$AEFD$后,余下的矩形$EBCF\backsim矩形BCDA$,求$CF$的长。

(2)(2025·编写)如图,已知矩形$ABCD$,$P为线段AB$上的一点,以$BP为边作矩形EFBP$,使点$F在线段CB$的延长线上,矩形$ABCD\backsim矩形EFBP$。设$CE与AB的交点为G$,$EF= a$,$AB= b$。当$EP平分\angle AEC$时,求$\frac{a}{b}$的值。

答案：
(1)[解]
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD = BC = 2，AB = DC = 4。
∵四边形EBCF是矩形，
∴EF = BC = 2，CF = BE。
∵余下的矩形EBCF∽矩形BCDA，
∴$\frac{BC}{CD}=\frac{CF}{BC}$，即 $\frac{2}{4}=\frac{CF}{2}$，
∴CF = 1。
(2)[解]
∵EP平分∠AEC，EP⊥AG，
∴AP = PG = AB - PB = AB - EF = b - a，
BG = AB - AG = b - 2(b - a) = 2a - b。
∵矩形ABCD∽矩形EFBP，
∴$\frac{PE}{BC}=\frac{EF}{AB}=\frac{a}{b}$。
∵PE//CF，
∴$\frac{PE}{BC}=\frac{PG}{BG}$，即 $\frac{a}{b}=\frac{b - a}{2a - b}$，
解得 $a=\frac{\sqrt{2}}{2}b$，
∴$a:b=\sqrt{2}:2$。

11. (2025·编写)如图,五边形$ABCDE\backsim五边形A'B'C'D'E'$,则这两个五边形的相似比是____。

答案： $2:1$