《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

6. (2025·编写)已知两点$A(4,6)$,$B(6,2)$,以原点$O$为位似中心,在第一象限内将$\triangle OAB缩小为原来的\frac{1}{2}$,则点$A的对应点C$的坐标为()
A. $(2,3)$
B. $(3,1)$
C. $(2,1)$
D. $(3,3)$

答案： A

7. (2025·编写)在平面直角坐标系中,已知点$A(1,0)$,$B(2,1)$,$C(-1,2)$,以原点$O$为位似中心,位似比为$2$,把四边形$OABC$放大,则点$C的对应点C'$的坐标为()
A. $(-\frac{1}{2},1)$
B. $(-\frac{1}{2},1)或(\frac{1}{2},-1)$
C. $(-2,4)$
D. $(-2,4)或(2,-4)$

答案： D

8. (2025·编写)如图,矩形$EFG O$的两边在坐标轴上,点$O$为平面直角坐标系的原点,以$y$轴上的某一点为位似中心,作位似图形$ABCD$,且点$B$,$F的坐标分别为(-4,4)$,$(2,1)$,则位似中心的坐标为()

A. $(0,3)$
B. $(0,2.5)$
C. $(0,2)$
D. $(0,1.5)$

答案： C

9. (2023·青羊)如图,在平面直角坐标系$xOy$中,$\triangle OAB的顶点坐标分别为O(0,0)$,$A(1,2)$,$B(3,1)$(每个方格的边长均为$1$个单位长度)。
(1) 将$\triangle OAB先向左平移4$个单位长度,再向上平移$1个单位长度后得到\triangle O_1A_1B_1$,请在平面直角坐标系中画出平移后的$\triangle O_1A_1B_1$；
(2) 请以$O$为位似中心,在$y轴右侧画出\triangle OAB的位似图形\triangle OA_2B_2$,使$\triangle OA_2B_2与\triangle OAB的相似比为2:1$,则点$A_2$的坐标为(____,____),点$B_2$的坐标为(____,____

)。

答案：

(1)如图所示，$\triangle O_{1}A_{1}B_{1}$即为所求。
(2)如图所示，$\triangle OA_{2}B_{2}$即为所求，点$A_{2}$的坐标为$(2,4)$，点$B_{2}$的坐标为$(6,2)$。

10. (2023·达州)如图,在平面直角坐标系中,已知$\triangle ABC三个顶点的坐标分别为A(3,3)$,$B(4,0)$,$C(0,2)$。
(1) 以点$O$为位似中心,将$\triangle ABC缩小为原来的\frac{1}{2}$,得到$\triangle A_1B_1C_1$,请在$y轴的右侧画出\triangle A_1B_1C_1$。
(2) 在$y轴上是否存在点P$,使得$|B_1P - A_1P|$的值最大？若存在,请求出满足条件的点$P$的坐标；若不存在,请说明理由。

答案：

(1)如图所示，$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$即为所求。

(2)在$y$轴上存在点$P$，使得$|B_{1}P - A_{1}P|$的值最大。理由如下：
若$A_{1}$，$B_{1}$，$P$三点构成三角形，则$|B_{1}P - A_{1}P| ＜ A_{1}B_{1}$，
$\therefore$当$A_{1}$，$B_{1}$，$P$三点不能构成三角形，即点$A_{1}$，$B_{1}$，$P$共线时，$|B_{1}P - A_{1}P|$最大，此时$|B_{1}P - A_{1}P| = A_{1}B_{1}$，如图所示。
由$A_{1}$为$OA$的中点，$B_{1}$为$OB$的中点，且$A(3,3)$，$B(0,4)$，得$A_{1}(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$，$B_{1}(2,0)$。
设直线$A_{1}B_{1}$的解析式为$y = kx + b$，把点$A_{1}(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$，$B_{1}(2,0)$代入，
得$\begin{cases}\frac{3}{2}k + b = \frac{3}{2}\\2k + b = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -3\\b = 6\end{cases}$
$\therefore$直线$A_{1}B_{1}$的解析式为$y = -3x + 6$。
令$x = 0$得$y = 6$，$\therefore P(0,6)$。