《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

12. (2025·编写)如图,在正方形ABCD中,AB= 8,O为AB的中点,P为正方形ABCD外一动点,且AP⊥CP,则线段OP的最大值为____。

答案： $4 + 4\sqrt{2}$

13. (2025·编写)如图,P是正方形ABCD外一点,PA= a,PB= b,其中a,b均为常数,则PD的最大值为____。

答案： $\sqrt{2}a + b$

14. (2023·东部新区)如图,在正方形ABCD中,点E从点B出发,沿边BC方向向终点C运动,DF⊥AE交AB于点F,以FD,FE为邻边构造平行四边形DFEP,连接CP,求∠FAE+∠EPC的度数。

答案：
[解]如图，过点P作PH⊥BC交BC的延长线于点H。

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD = AB = BC，$\angle DAF = \angle ABE = \angle DCB = \angle DCH = 90^{\circ}$，
∴$\angle BAE + \angle DAE = 90^{\circ}$。
∵DF⊥AE，
∴$\angle ADF + \angle DAE = 90^{\circ}$，
∴$\angle BAE = \angle ADF$，
∴$\triangle ADF \cong \triangle BAE(ASA)$，
∴DF = AE。
∵四边形DFEP是平行四边形，
∴DF = PE，DF //PE，
∴AE = PE，PE⊥AE，
∴$\angle AEB + \angle PEH = 90^{\circ}$。
∵$\angle BAE + \angle AEB = 90^{\circ}$，
∴$\angle BAE = \angle PEH$。
∵$\angle ABE = \angle H = 90^{\circ}$，AE = EP，
∴$\triangle ABE \cong \triangle EHP(AAS)$，
∴PH = BE，AB = EH = BC，
∴BE = CH = PH，
∴$\angle PCH = 45^{\circ}$。
∵$\angle BAE = \angle PEH$，
∴$\angle FAE + \angle EPC = \angle PEH + \angle EPC = \angle PCH = 45^{\circ}$。

15. (2024·泸州)如图,在边长为6的正方形ABCD中,E,F分别是边AB,BC上的动点,且满足AE= BF,AF与DE交于点O,M是DF的中点,G是边AB上的点,AG= 2GB,求OM+$\frac{1}{2}$FG的最小值。

答案：
[解]
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD = AB，$\angle DAB = \angle ABC = 90^{\circ}$。
又
∵AE = BF，
∴$\triangle ADE \cong \triangle BAF(SAS)$，
∴$\angle ADE = \angle BAF$，
∴$\angle DOF = \angle ADO + \angle DAO = \angle BAF + \angle DAO = \angle DAB = 90^{\circ}$。
∵M是DF的中点，
∴$OM = \frac{1}{2}DF$。
如图所示，在AB延长线上截取BH = BG，连接FH，DH。

∵$\angle FBG = \angle FBH = 90^{\circ}$，FB = FB，BG = BH，
∴$\triangle FBG \cong \triangle FBH(SAS)$，
∴FH = FG。
∴$OM + \frac{1}{2}FG = \frac{1}{2}DF + \frac{1}{2}HF = \frac{1}{2}(DF + HF)$，
∴当H，D，F三点共线时，DF + HF有最小值，即此时$OM + \frac{1}{2}FG$有最小值，最小值为DH的长的一半。
∵AG = 2GB，AB = 6，
∴BH = BG = 2，
∴AH = 8。
在Rt△ADH中，由勾股定理，得$DH = \sqrt{AD^{2} + AH^{2}} = 10$，
∴$OM + \frac{1}{2}FG$的最小值为$\frac{1}{2} \times 10 = 5$。