《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

1. 一元二次方程的一般形式是______.

答案： $ ax^{2}+bx+c=0(a\neq 0) $

2. 一元二次方程 $ ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0) $ 根的判别方法：
(1) 当 $ \Delta $______0 时,方程有两个不相等的实数根；
(2) 当 $ \Delta $______0 时,方程有两个相等的实数根；
(3) 当 $ \Delta $______0 时,方程没有实数根.
以上三条,反之也成立.

答案：
(1) $ ＞ $
(2) $ = $
(3) $ ＜ $

3. 解一元二次方程的四种方法：______、______、______、______.

答案： 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法

4. 如果 $ x_{1},x_{2} $ 是一元二次方程 $ ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0) $ 的两个实数根,则有 $ x_{1}+x_{2} = $______,$ x_{1}\cdot x_{2} = $______.

答案： $ -\frac{b}{a} $ $ \frac{c}{a} $

1. (1)(2025·编写)方程 $ (x + 1)^{2} = 4 $ 的解是______.
(2)(2025·编写)若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+2x - k = 0 $ 有两个相等的实数根,则 $ \sqrt[3]{k} $ 的值为______.

答案：
(1) $ x=-3 $ 或 $ x=1 $
(2) $ -1 $

2. (1)(2025·编写)若一元二次方程 $ x^{2}-3x + 1 = 0 $ 的两个实数根为 $ a $ 和 $ b $,则 $ a^{2}+b^{2} $ 的值为______.
(2)(2025·编写)菱形的两条对角线的长是方程 $ x^{2}-7x + 1 = 0 $ 的两根,则菱形的面积是______.

答案：
(1) $ 7 $
(2) $ \frac{1}{2} $

3. (1)(2023·朝阳)若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (a + 2)x^{2}+x + a^{2}-4 = 0 $ 的一个根是 0,则 $ a $ 为______.
(2)(2025·编写)方程 $ (2-\sqrt{3})x^{2}-2(\sqrt{3}-1)x - 6 = 0 $ 的解为______.

答案：
(1) $ 2 $
(2) $ x_{1}=-(\sqrt{3}+1),x_{2}=3(\sqrt{3}+1) $

4. (1)(2025·编写)如图,在一块长为 22 m、宽为 14 m 的矩形空地内修建三条宽度相等的小路,其余部分种植花草. 若花草的种植面积为 $ 240m^{2} $,则小路宽为

______.
(2)(2024·眉山)已知方程 $ x^{2}-3x - 4 = 0 $ 的根为 $ x_{1},x_{2} $,则 $ (x_{1}+2)\cdot(x_{2}+2) $ 的值为______.

答案：
(1) $ 2m $
(2) $ 6 $

5. (2023·武侯)下列方程中,属于一元二次方程的是 ()
A. $ x - 2y = 1 $
B. $ x^{2}-2x + 1 = 0 $
C. $ x^{2}-2y + 4 = 0 $
D. $ x^{2}+3= \frac{2}{x} $

答案： B