《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

13. (2024·南充)已知$m是方程x^{2}+4x-1= 0$的一个根,则$(m+5)(m-1)$的值为____.

答案： -4

14. (1)(2025·成华)已知$2x^{2}-x-3= 0$,求$(2x+3)(2x-3)+(2x-1)^{2}$的值.
(2)(2025·编写)已知$a是x^{2}+x-2= 0$的根,求代数式$(a^{2}+a)(a-\frac{2}{a}+3)$的值.

答案：
(1)【解】$\because 2x^2 - x - 3 = 0$，
$\therefore 2x^2 - x = 3$，
$\therefore (2x + 3)(2x - 3) + (2x - 1)^2$
$= 4x^2 - 9 + 4x^2 - 4x + 1$
$= 8x^2 - 4x - 8$
$= 4(2x^2 - x) - 8$
$= 12 - 8$
$= 4$。
(2)【解】$\because a$ 是 $x^2 + x - 2 = 0$ 的根，
$\therefore a^2 + a - 2 = 0$。
$\therefore a^2 - 2 = -a$，$a^2 + a = 2$。
$\therefore (a^2 + a)(a - \frac{2}{a} + 3)$
$= 2 \times (\frac{a^2 - 2}{a} + 3)$
$= 2 \times (-\frac{a}{a} + 3)$
$= 4$。

15. (1)(2025·编写)已知$P= 3a(a+1)-(a+1)(a-1)$.
① 化简$P$；
② 若$a为方程\frac{2}{3}x^{2}+x-\frac{5}{3}= 0$的解,求$P$的值.
(2)(2025·编写)若$x= a是方程x^{2}-2028x+1= 0$的一个根,求代数式$a^{2}-2029a+\frac{a^{2}+1}{2028}$的值.

答案：
(1)【解】① $P = 3a^2 + 3a - (a^2 - 1) = 3a^2 + 3a - a^2 + 1 = 2a^2 + 3a + 1$。
② $\because a$ 为方程 $\frac{2}{3}x^2 + x - \frac{5}{3} = 0$ 的解，
$\therefore \frac{2}{3}a^2 + a - \frac{5}{3} = 0$，即 $2a^2 + 3a = 5$，
$\therefore P = 5 + 1 = 6$。
(2)【解】把 $x = a$ 代人方程，得 $a^2 - 2028a + 1 = 0$，
$\therefore a^2 - 2028a = -1$，即 $a^2 + 1 = 2028a$，
$\therefore a^2 - 2029a = -a - 1$，
$\therefore a^2 - 2029a + \frac{a^2 + 1}{2028} = -a - 1 + \frac{2028a}{2028} = -1$，
即 $a^2 - 2029a + \frac{a^2 + 1}{2028} = -1$。