《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

14. (1) (2025·编写)已知$\frac{2a}{b + c + d} = \frac{2b}{a + c + d} = \frac{2c}{a + b + d} = \frac{2d}{a + b + c} = k$,求$k^2 - 3k - 4$的值。
(2) (2025·编写)若$\frac{-a + b + c}{a} = \frac{a - b + c}{b} = \frac{a + b - c}{c}$,求$\frac{abc}{(a + b)(b + c)(c + a)}$的值。

答案：
(1)【解】$ \because \frac { 2 a } { b + c + d } = \frac { 2 b } { a + c + d } = \frac { 2 c } { a + b + d } = \frac { 2 d } { a + b + c } = k $，$ \therefore $ 由等比性质可得 $ \frac { 2 ( a + b + c + d ) } { 3 ( a + b + c + d ) } = k $。当 $ a + b + c + d \neq 0 $ 时，$ k = \frac { 2 ( a + b + c + d ) } { 3 ( a + b + c + d ) } = \frac { 2 } { 3 } $，当 $ a + b + c + d = 0 $ 时，$ b + c + d = - a $，$ \therefore k = \frac { 2 a } { b + c + d } = \frac { 2 a } { - a } = - 2 $，$ \therefore k ^ { 2 } - 3 k - 4 = ( \frac { 2 } { 3 } ) ^ { 2 } - 3 \times \frac { 2 } { 3 } - 4 = - \frac { 50 } { 9 } $ 或 $ k ^ { 2 } - 3 k - 4 = ( - 2 ) ^ { 2 } - 3 \times ( - 2 ) - 4 = 6 $。
(2)【解】设 $ \frac { - a + b + c } { a } = \frac { a - b + c } { b } = \frac { a + b - c } { c } = k $，则 $ a k = - a + b + c $，$ b k = a - b + c $，$ c k = a + b - c $，$ ( a + b + c ) k = a + b + c $。①如果 $ a + b + c \neq 0 $，那么 $ k = 1 $，此时 $ b + c = 2 a $，$ a + c = 2 b $，$ a + b = 2 c $，$ \frac { a b c } { ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) } = \frac { a b c } { 2 c \cdot 2 a \cdot 2 b } = \frac { 1 } { 8 } $。②如果 $ a + b + c = 0 $，那么 $ b + c = - a $，$ k = \frac { - a - a } { a } = - 2 $，此时 $ b + c = - a $，$ a + c = - b $，$ a + b = - c $，$ \frac { a b c } { ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) } = \frac { a b c } { - c \cdot ( - a ) \cdot ( - b ) } = - 1 $。故原式 $ = \frac { 1 } { 8 } $ 或原式 $ = - 1 $。

15. (2025·编写)阅读理解：
已知：$a$,$b$,$c$,$d都是不为0$的数,且$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$。求证：$\frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d}$。
证明：$\because \frac{a}{b} = \frac{c}{d}$,
$\therefore \frac{a}{b} + 1 = \frac{c}{d} + 1$,
$\therefore \frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d}$。
根据以上方法,解答下列问题：
(1) 若$\frac{a}{b} = \frac{3}{5}$,求$\frac{a + b}{b}$的值；
(2) 若$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$,且$a + b \neq 0$,$c + d \neq 0$,求证：$\frac{a - b}{a + b} = \frac{c - d}{c + d}$。

答案：
(1)【解】$ \because \frac { a } { b } = \frac { 3 } { 5 } $，$ \therefore \frac { a + b } { b } = \frac { a } { b } + 1 = \frac { 3 } { 5 } + 1 = \frac { 8 } { 5 } $。
(2)【证明】$ \because \frac { a } { b } = \frac { c } { d } $，$ \therefore \frac { a } { b } - 1 = \frac { c } { d } - 1 $，$ \therefore \frac { a - b } { b } = \frac { c - d } { d } $。$ \because \frac { a + b } { b } = \frac { c + d } { d } $，$ a + b \neq 0 $，$ c + d \neq 0 $，$ \therefore \frac { a - b } { b } \div \frac { a + b } { b } = \frac { c - d } { d } \div \frac { c + d } { d } $，$ \therefore \frac { a - b } { a + b } = \frac { c - d } { c + d } $。