《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

8. (2025·编写)下列各式的变形中,正确的是 ()
A. $x^2 - 4x - 1 = 0配方变为(x - 2)^2 = 1$
B. $x^2 + x = 2x^2 + 1变为x^2 - x + 1 = 0$
C. $2x^2 + 10x + 9 = 0配方变为(2x + 5)^2 = 16$
D. $x^2 - 2x = 8因式分解得(x + 5)(x - 2) = 0$

答案： B

9. (2025·编写)用适当的方法解下列一元二次方程：
(1)$(y - 2)^2 = 36$；
(2)$2x^2 - 4x - 5 = 0$；
(3)$a^2 - 5a - 6 = 0$；
(4)$(x - 1)^2 - 3(x - 1) + 2 = 0$.

答案：
(1)[解]开方,得$y - 2=\pm6$，
解得$y_{1}=8,y_{2}=-4$。
(2)[解]$a = 2,b=-4,c=-5$，
$b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4×2×(-5)=56$，
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{4\pm\sqrt{56}}{2×2}$，
$x_{1}=\frac{2+\sqrt{14}}{2},x_{2}=\frac{2-\sqrt{14}}{2}$。
(3)[解]整理得$(a - 6)(a + 1)=0$，
$a - 6=0,a + 1=0$，
解得$a_{1}=6,a_{2}=-1$。
(4)[解]分解因式,得$(x - 1 - 2)(x - 1 - 1)=0$，
$x - 1 - 2=0,x - 1 - 1=0$，
$x_{1}=3,x_{2}=2$。

10. (1)(2022·武侯)定义：若一个一元二次方程的“某一个根”是另一个一元二次方程的一个根,则称这两个方程为“友好方程”. 已知关于$x的一元二次方程x^2 = 3x与x^2 - 2x + m - 1 = 0$是“友好方程”,求$m$的值.
(2)(2025·编写)若已知$x$为实数,且满足$(2x^2 + 3)^2 + 2(2x^2 + 3) - 15 = 0$,求$x$的值.

答案：
(1)[解]由$x^{2}=3x$，解得$x_{1}=0,x_{2}=3$。
将$x_{1}=0$代入$x^{2}-2x + m - 1=0$中，得$m = 1$；
将$x_{2}=3$代入$x^{2}-2x + m - 1=0$中，得$m=-2$。
所以$m$的值为 1 或-2。
(2)[解]设$2x^{2}+3=t$，且$t\geq3$，
∴原方程化为$t^{2}+2t - 15=0$，即$(t + 5)(t - 3)=0$，
∴$t = 3$或$t=-5$(舍去)，
∴$2x^{2}+3=3$，
∴$x = 0$。

11. (1)(2025·编写)关于$x的方程(x + 1)^2 - 3(x + 1) = 2$的根的情况是____.
(2)(2025·编写)若$m是方程2x^2 - 3x - 1 = 0$的一个根,则$6m^2 - 9m + 2022$的值为____.

答案：
(1)有两个不相等的实数根　
(2)2025

12. (1)(2025·编写)对于任意实数$a$,$b$,定义一种运算：$a \otimes b = a^2 + b^2 - ab$,若$x \otimes (x - 1) = 3$,则$x$的值为____.
(2)(2025·编写)代数式$-2x^2 + 20x - 9$的最大值为____.

答案：
(1)2 或-1　
(2)41

13. (1)(2025·编写)已知方程$mx^2 - 4x + 1 = 0的根是x_1 = 1$,$x_2 = \frac{1}{3}$,则方程$m(\frac{y + 1}{3})^2 - 4(\frac{y + 1}{3}) + 1 = 0$的根为____.
(2)(2025·编写)已知$m$,$n都是方程x^2 + 2025x - 2025 = 0$的根,则代数式$(m^2 + 2025m - 2026)(n^2 + 2025n - 2024)$的值为____.

答案：
(1)$y_{1}=2,y_{2}=0$　
(2)-1