《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

13. (2025·锦江)如图,四边形$ABCD$为菱形,$\angle ABC = 80^{\circ}$,延长$BC到E$,在$\angle DCE内作射线CM$,使得$\angle ECM = 30^{\circ}$,过点$D作DF\perp CM$,垂足为$F$。若$DF = \sqrt{3}$,则对角线$BD$的长为______。

答案： $2\sqrt{3}$

14. (2025·天府新区)如图,在菱形$ABCD$中,$AB = 5$,$AC = 8$,$P为边BC$上的动点,将$\triangle ABP沿着AP$翻折,使得顶点$B落在菱形ABCD内部的点B'$处,当$P$,$B'$,$D$三点共线时,求点$A到直线PD$的距离。(提示：角平分线+平行→等腰三角形,求高常用面积法)

答案： 【解】如图，连接$BD$，过点$A$作$AE⊥PD$于点$E$．
∵四边形$ABCD$是菱形，
∴$AB = AD = DC$，$BC// AD$，$AB// DC$，
∴$∠ADB' = ∠CPD$，$∠ABC + ∠BCD = 180^{\circ}$．
∵$AB = 5$，$AC = 8$，
∴$BD = 2\times\sqrt{5^{2} - (\frac{8}{2})^{2}} = 6$，
∴菱形$ABCD$的面积为$\frac{1}{2}BD\cdot AC = \frac{1}{2}\times6\times8 = 24$，
∴$\triangle ADP$的面积为$\frac{1}{2}\times24 = 12$．
∵将$\triangle ABP$沿着$AP$翻折，点$B$落在点$B'$处，
∴$∠ABC = ∠AB'P$，$AB' = AB = AD$，
∴$∠ADB' = ∠AB'D$．
∵$∠AB'D + ∠AB'P = ∠AB'D + ∠ABC = 180^{\circ}$，
∴$∠AB'D = ∠BCD$，
∴$∠CPD = ∠BCD$，
∴$DP = DC = 5$，
∴$\frac{1}{2}\times5\times AE = 12$，解得$AE = \frac{24}{5}$．
∴点$A$到直线$PD$的距离为$\frac{24}{5}$．

15. (2024·凉山州)如图,在菱形$ABCD$中,$\angle ABC = 60^{\circ}$,$AB = 2$,$E是BC$边上一个动点,连接$AE$,$AE的垂直平分线MN交AE于点M$,交$BD于点N$,连接$EN$,$CN$。
(1)求证：$EN = CN$；
(2)求$2EN + BN$的最小值。

答案：

(1)【证明】如图1，连接$AN$．
∵四边形$ABCD$是菱形，
∴点$A$，$C$关于直线$BD$轴对称，
∴$AN = CN$．
∵$AE$的垂直平分线$MN$交$AE$于点$M$，交$BD$于点$N$，
∴$AN = EN$，
∴$EN = CN$．

(2)【解】如图2，过点$N$作$NG⊥BC$于点$G$，连接$AN$，$AG$，过点$A$作$AH⊥BC$于点$H$．

∵四边形$ABCD$是菱形，$∠ABC = 60^{\circ}$，
∴$∠DBC = 30^{\circ}$，
∴$BN = 2NG$；
∵$AE$的垂直平分线$MN$交$AE$于点$M$，交$BD$于点$N$，
∴$EN = AN$，
∴$2EN + BN = 2AN + 2NG = 2(AN + NG)≥2AG＞2AH$，
∴$2EN + BN$的最小值为$2AH$．
∵$∠ABC = 60^{\circ}$，$AB = 2$，
∴$BH = \frac{1}{2}AB = 1$，
∴$AH = \sqrt{AB^{2} - BH^{2}} = \sqrt{3}$，
∴$2EN + BN$的最小值为$2\sqrt{3}$．