《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

14. (1)(2025·编写)已知关于$x的一元二次方程(a + c)x^2 - 4bx + 4(c - a) = 0$,其中$a$,$b$,$c分别为\triangle ABC$三边的长.
①如果方程有两个相等的实数根,试判断$\triangle ABC$的形状,并说明理由；
②如果$\triangle ABC$是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.
(2)(2025·编写)从$-4$,$-2$,$-1$,$0$,$1$,$2$,$4$,$6$这八个数中,随机抽一个数,记为$a$. 若数$a使关于x的一元二次方程x^2 - 2(a - 4)x + a^2 = 0$有实数解,且关于$y的分式方程\frac{y + a}{y - 1} - 3 = \frac{1}{1 - y}$有整数解,求符合条件的$a$的值的和.

答案：
(1)[解]①$\triangle ABC$为直角三角形，理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴$(-4b)^{2}-4(a + c)\cdot4(c - a)=0$，
∴$b^{2}+a^{2}=c^{2}$，
∴$\triangle ABC$为直角三角形。
②
∵$\triangle ABC$是等边三角形，
∴$a = b = c$，
∴原方程可化为$2ax^{2}-4ax=0$。
∵$a\neq0$，
∴$2x^{2}-4x=0$，
∴$x_{1}=0,x_{2}=2$。
(2)[解]
∵方程$x^{2}-2(a - 4)x + a^{2}=0$有实数解，
∴$\Delta=4(a - 4)^{2}-4a^{2}\geq0$，解得$a\leq2$，
∴满足条件的$a$的值为-4，-2，-1，0，1，2。
方程$\frac{y + a}{y - 1}-3=\frac{1}{1 - y}$，解得$y=\frac{a}{2}+2$，
∵$y$有整数解，且$y\neq1$，
∴$a=-4,0,2,4,6$。
综上所述，满足条件的$a$的值为-4，0，2，
∴符合条件的$a$的值的和是-2。

15. (2025·东部新区)如图,在菱形$ABCD$中,$AB = 5$,对角线$AC$,$BD交于点M$,$AC ＜ BD$,$S_{菱形ABCD} = 24$,$E是直线AC$上一动点,连接$DE$,以$AE$,$DE为邻边作\square AEDF$,其对角线$EF与AD交于点O$,点$E$的运动过程中,求$\square AEDF的对角线EF$的最小值.

答案：
[解]设$AC = 2a,BD = 2b$。
∵$AC\lt BD$，
∴$a\lt b$。
∵四边形$ABCD$为菱形，
∴$BD\perp AC,BM = DM=\frac{1}{2}BD = b,AM=\frac{1}{2}AC = a$。
∵$S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}×2a×2b = 2ab = 24$，
∴$b=\frac{12}{a}$。
在$Rt\triangle ABM$中，
由勾股定理，得$BM^{2}+AM^{2}=AB^{2}$，
即$b^{2}+a^{2}=(\frac{12}{a})^{2}+a^{2}=25$，
整理，得$a^{4}-25a^{2}+144=0$，
解得$a^{2}=16$或$a^{2}=9$。
当$a^{2}=16$时，可得$a_{1}=4,a_{2}=-4$(舍去)，
此时$b=\frac{12}{4}=3\lt a$，不合题意，舍去；
当$a^{2}=9$时，可得$a_{1}=3,a_{2}=-3$(舍去)，
此时$b=\frac{12}{3}=4\gt a$，符合题意，
∴$DM = b = 4$。
∵四边形$AEDF$为平行四边形，
∴$DF// AC$，
∴点$F$在过点$D$，且平行于$AC$的直线上，
∴当$EF\perp DF$时，$EF$取最小值(如图所示)。

∵$BD\perp AC$，
∴$\angle EMD = 90^{\circ}$。
∵$DF// AC$，
∴$\angle MDF = 180^{\circ}-\angle EMD = 90^{\circ}$。
∵$EF\perp DF$，
∴$\angle EFD=\angle MDF=\angle EMD = 90^{\circ}$，
∴四边形$EMDF$为平行四边形，
∴$EF = DM = 4$，
∴$\square AEDF$的对角线$EF$的最小值是 4。