《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

7. (2025·编写) 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+(2k + 1)x + k^{2}-2 = 0 $ 的两个实根的平方和等于 $ 11 $,则 $ k $ 的值为 ()
A. $ -3 $
B. $ 1 $
C. $ 3 $
D. $ -3 $ 或 $ 1 $

答案： B

8. (2025·编写) 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+px + q = 0 $ 的两根分别为 $ x_{1} = 2 $,$ x_{2} = -3 $,则原方程可化为 ()
A. $ (x + 2)(x + 3) = 0 $
B. $ (x + 2)(x - 3) = 0 $
C. $ (x - 2)(x - 3) = 0 $
D. $ (x - 2)(x + 3) = 0 $

答案： D

9. (1) (2023·德州) 设 $ x_{1},x_{2} $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-2(m + 1)x + m^{2}+2 = 0 $ 的两个实数根,且 $ (x_{1}+1)(x_{2}+1) = 8 $,求 $ m $ 的值.
(2) (2023·青羊) 已知 $ x_{1},x_{2} $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-2(m + 1)x + m^{2}-3 = 0 $ 的两个实数根. 若 $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2} = 33 $,求 $ m $ 的值.

答案：
(1)【解】$\because x_{1},x_{2}$是关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2(m+1)x+m^{2}+2=0$的两个实数根，
$\therefore x_{1}+x_{2}=2(m+1),x_{1}x_{2}=m^{2}+2$.
$\because (x_{1}+1)(x_{2}+1)=8,\therefore m^{2}+2+2(m+1)+1=8$,
解得$m=1$或$m=-3$.
$\because \Delta =4(m+1)^{2}-4(m^{2}+2)=8m-4\geq0$,
解得$m\geq\frac{1}{2},\therefore m=1$.
(2)【解】$\because x_{1},x_{2}$是关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2(m+1)x+m^{2}-3=0$的两个实数根，
$\therefore x_{1}+x_{2}=2(m+1),x_{1}x_{2}=m^{2}-3$.
$\because x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=33$,即$(x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}=33$,
$\therefore [2(m+1)]^{2}-3(m^{2}-3)=33$,
$\therefore m^{2}+8m-20=0$,
解得$m=-10$或$m=2$.
$\because \Delta =4(m+1)^{2}-4(m^{2}-3)=8m+16\geq0$,解得$m\geq-2,\therefore m=2$.

10. (2025·编写) 已知关于 $ x $ 的方程 $ \frac{m - 1}{x - 1}-\frac{x}{x - 1} = 0 $ 无解,方程 $ x^{2}+kx + 6 = 0 $ 的一个根是 $ m $.
(1) 求 $ m $ 和 $ k $ 的值；
(2) 求方程 $ x^{2}+kx + 6 = 0 $ 的另一个根.

答案： 【解】
(1)方程$\frac{m-1}{x-1}-\frac{x}{x-1}=0$去分母,得$m-1-x=0$,解得$x=m-1$,
而分式方程无解,则$x-1=0$,
所以$m-1-1=0$,解得$m=2$.
把$x=2$代人方程$x^{2}+kx+6=0$得$4+2k+6=0$,
解得$k=-5$.
(2)设方程的另外一个根是$t$,
则$2t=6$,解得$t=3$,
所以方程$x^{2}+kx+6=0$的另一个根为3.

11. (2025·简阳) 已知方程 $ 2x^{2}+kx + k - 12 = 0 $ 的两根之和等于两根之积,则方程两根的平方和为______.

答案： 15

12. (2024·成都) 若 $ m,n $ 是一元二次方程 $ x^{2}-5x + 2 = 0 $ 的两个实数根,则 $ m+(n - 2)^{2} $ 的值为______.

答案： 7

13. (2025·编写) 已知一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = 0(a \neq 0) $,有以下结论：①若方程的两根为 $ -1 $ 和 $ 2 $,则 $ 2a + c = 0 $；②若 $ b \gt a + c $,则一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = 0 $ 有两个不相等的实数根；③若 $ b = 2a + 3c $,则一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = 0 $ 有两个不相等的实数根；④若 $ m $ 是方程 $ ax^{2}+bx + c = 0 $ 的一个根,则一定有 $ b^{2}-4ac= (2am + b)^{2} $ 成立. 其中正确结论的序号是______.

答案： ①③④