《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

1. 把线段 $ AB $ 分成 $ AC $ 和 $ BC(AC＞BC) $ 两条线段,且使 $ AC $ 是 $ AB $ 和 $ BC $ 的____,叫作把线段 $ AB $____分割,点 $ C $ 叫作线段 $ AB $ 的____分割点。

答案： 比例中项　黄金　黄金

2. 与黄金分割有关的公式：\n(1) 长 $ =\frac{\sqrt{5}-1}{2} × $ 整体 $ \approx 0.618 × $ 整体,短 $ =\frac{3-\sqrt{5}}{2} × $ 整体。\n(2) 短 $ : $ 长 $ = $ 长 $ : $ 整体 $ =\frac{\sqrt{5}-1}{2} $。

答案： 上述公式可通过黄金分割的定义，利用一元二次方程求根公式以及分式运算和分母有理化等方法进行推导得出，长$=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×$整体$\approx0.618×$整体，短$=\frac{3 - \sqrt{5}}{2}×$整体，且短:长 = 长:整体$=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。

3. 黄金分割的判定方法：\n(1) 比例中项法：若长 $ ^{2}= $ 短 $ × $ 整体,则对应点是整体的黄金分割点。\n(2) 比值法：若短 $ : $ 长 $ =\frac{\sqrt{5}-1}{2} $ 或长 $ : $ 整体 $ =\frac{\sqrt{5}-1}{2} $,则对应点是整体的黄金分割点。\n(3) 倍数法：若长 $ =\frac{\sqrt{5}-1}{2} × $ 整体,则对应点是整体的黄金分割点。

答案： 黄金分割的判定方法有三种，分别为：
(1)比例中项法：若长$^{2} =$短$\times$整体，则对应点是整体的黄金分割点；
(2)比值法：若短$:$长$=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$或长$:$整体$=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则对应点是整体的黄金分割点；
(3)倍数法：若长$=\frac{\sqrt{5}-1}{2} \times$整体，则对应点是整体的黄金分割点。

1. (1) (2025·编写) 已知点 $ C $ 是线段 $ AB $ 的黄金分割点,如果 $ AC＞BC $,$ BC= 4 $,则 $ AC= $____。
(2) (2025·编写) 如图,线段 $ AB= 20 \mathrm{~cm} $,若点 $ P $ 是 $ AB $ 的黄金分割点 $ (PA＞PB) $,则线段 $ PA $ 的长为____。(结果保留根号)

答案：
(1)$2\sqrt {5}+2$
(2)$(10\sqrt {5}-10)cm$

2. (2025·编写) 大自然是美的设计师,即使是一片小小的树叶,也蕴含着“黄金分割”,如图,点 $ P $ 为 $ AB $ 的黄金分割点 $ (AP＞PB) $,如果 $ AB $ 的长度为 $ 10 \mathrm{~cm} $,那么 $ PB $ 的长度为____。

答案： $(15-5\sqrt {5})cm$

3. (1) (2025·编写) 如图,在 $ \square ABCD $ 中,点 $ E $ 是 $ BC $ 边上的黄金分割点,且 $ BE＞CE $,$ AE $ 与 $ BD $ 相交于点 $ F $,那么 $ BF:DF $ 的值为____。


(2) (2025·编写) 采用如下方法可以得到线段的黄金分割点。如图,设 $ AB $ 是已知线段,经过点 $ B $ 作 $ BD \perp AB $,使 $ BD= \frac{1}{2} AB $；连接 $ DA $,在 $ DA $ 上取 $ DE= DB $,在 $ AB $ 上截取 $ AC= AE $。点 $ C $ 即为线段 $ AB $ 的黄金分割点。若 $ BD= 2 $,则 $ BC $ 的长为____。

答案：
(1)$\frac {\sqrt {5}-1}{2}$
(2)$6-2\sqrt {5}$