《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

8. (2025·编写)已知 $ x_{1},x_{2} $ 是方程 $ x^{2}-3x - 2 = 0 $ 的两根,则 $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2} $ 的值为 ()
A. $ 5 $
B. $ 10 $
C. $ 11 $
D. $ 13 $

答案： D

9. (1)(2025·编写)若 $ a,b $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-6x - 15 = 0 $ 的两个实数根,求代数式 $ \frac{1}{a}+\frac{1}{b},a^{2}b + ab^{2},(a - b)^{2} $ 的值。
(2)(2025·编写)已知 $ m $ 和 $ n $ 是方程 $ 2x^{2}-5x - 3 = 0 $ 的两根,求：
① $ \frac{1}{m}+\frac{1}{n} $ 的值；
② $ m^{2}-mn + n^{2} $ 的值。

答案：
(1)【解】
∵a,b是关于x的一元二次方程$x^{2}-6x-15=0$的两个实数根,
$\therefore a+b=6,ab=-15,$
$\therefore \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{6}{-15}=-\frac{2}{5}$;
$a^{2}b+ab^{2}=ab(a+b)=-15×6=-90$;
$(a-b)^{2}=(a+b)^{2}-4ab=36+60=96$.
(2)【解】①
∵m和n是方程$2x^{2}-5x-3=0$的两根,
$\therefore m+n=\frac{5}{2},mn=-\frac{3}{2}$,
$\therefore \frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{n+m}{mn}=\frac{\frac{5}{2}}{-\frac{3}{2}}=-\frac{5}{3}$.
②$m^{2}-mn+n^{2}=(m+n)^{2}-3mn=(\frac{5}{2})^{2}-3×(-\frac{3}{2})=\frac{25}{4}+\frac{18}{4}=10\frac{3}{4}$.

10. (2025·编写)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-2kx + k^{2}+k = 0 $ 有实数根。
(1) 求 $ k $ 的取值范围；
(2) 设此方程的两个根分别为 $ x_{1},x_{2} $,若 $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+3x_{1}x_{2} = 6 $,求 $ k $ 的值。

答案：
(1)【解】
∵关于x的一元二次方程$x^{2}-2kx+k^{2}+k=0$有实数根,
$\therefore \Delta=(-2k)^{2}-4×1×(k^{2}+k)≥0$,解得$k≤0$.
(2)根据题意,得$x_{1}+x_{2}=2k,x_{1}x_{2}=k^{2}+k$,
$\because x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+3x_{1}x_{2}=6$,
$\therefore (x_{1}+x_{2})^{2}+x_{1}x_{2}=6$,
$\therefore (2k)^{2}+(k^{2}+k)=6$,
解得$k=1$或$k=-\frac{6}{5}$.
$\because k≤0,\therefore k=-\frac{6}{5}$.

11. (1)(2023·成华)已知 $ m,n $ 是一元二次方程 $ x^{2}+2x - 5 = 0 $ 的两个根,则 $ m^{2}+mn + 2m $ 的值为 。
(2)(2022·资阳)若实数 $ a,b $ 分别满足 $ a^{2}-4a + 3 = 0,b^{2}-4b + 3 = 0(a \neq b) $,则 $ \frac{1}{a}+\frac{1}{b} $ 的值为 。

答案：
(1) 0
(2) $\frac{4}{3}$

12. (2023·泸州)若一个菱形的两条对角线的长分别是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-10x + m = 0 $ 的两个实数根,且其面积为 11,则该菱形的边长为 。

答案： $\sqrt{14}$

13. (2025·编写)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = 0(a \neq 0) $,有下列结论：
① 若方程两根为 $ -1 $ 和 $ 2 $,则 $ 2a + c = 0 $；
② 若 $ b ＞ a + c $,则方程有两个不相等的实数根；
③ 若 $ b = 2a + 3c $,则方程有两个不相等的实数根；
④ 若 $ m $ 是方程的一个根,则一定有 $ b^{2}-4ac = (2am + b)^{2} $ 成立。
其中正确结论的序号是 。

答案： ①③④