《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

13. (2025·编写)已知实数$a,b同时满足a^{2}+b^{2}-11= 0,a^{2}-5b-5= 0$,则$b$的值是______.

答案： 1

14. (2025·编写)基本事实：“若$ab= 0$,则$a= 0或b= 0$.”方程$x^{2}-x-6= 0可通过因式分解化为(x-3)(x+2)= 0$,由基本事实得$x-3= 0或x+2= 0$,即方程的解为$x= 3或x= -2$.
(1)试利用上述基本事实,解方程：$3x^{2}-x= 0$；
(2)若实数$m,n满足(m^{2}+n^{2})(m^{2}+n^{2}-1)-6= 0$,求$m^{2}+n^{2}$的值.

答案： 【解】
(1)由原方程,得$x(3x-1)=0,$
$\therefore x=0$或$3x-1=0,$
解得$x_{1}=0,x_{2}=\frac {1}{3}.$
(2)设$t=m^{2}+n^{2}(t≥0)$,则由原方程,得$t(t-1)-6=0.$
整理,得$(t-3)(t+2)=0.$
$\therefore t=3$或$t=-2$(舍去).
即$m^{2}+n^{2}$的值是3.

15. (2024·凉山州)阅读下面的材料,并解决相关问题：
如图是一个三角点阵,从上向下数有无数多行,其中第1行有1个点,第2行有2个点,……,第$n行有n$个点. 容易发现,三角点阵中前4行的点数之和为10.
(1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为______,前15行的点数之和为______,那么,前$n$行的点数之和为______.
(2)体验：三角点阵中前$n$行的点数之和______(填“能”或“不能”)为500.
(3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景,其中一种造型要用420盆同样规格的花,按照第1排2盆,第2排4盆,第3排6盆,……,第$n排2n$盆的规律摆放而成,则一共能摆放多少排?

答案：
(1)由题知,三角点阵中前1行的点数之和为1;
三角点阵中前2行的点数之和为$1+2;$
三角点阵中前3行的点数之和为$1+2+3;$
三角点阵中前4行的点数之和为$1+2+3+4;$
……
所以三角点阵中前$n$行的点数之和为$1+2+3+\cdots +n=\frac {n(n+1)}{2}.$
当$n=8$时,$\frac {n(n+1)}{2}=36,$
即三角点阵中前8行的点数之和为36.
当$n=15$时,$\frac {n(n+1)}{2}=120,$
即三角点阵中前15行的点数之和为120.
故答案为$36;120;\frac {n(n+1)}{2}.$
(2)令$\frac {n(n+1)}{2}=500$,解得$n=\frac {-1\pm \sqrt {4001}}{2},$
因为$n$为正整数,
所以三角点阵中前$n$行的点数之和不能为500.
故答案为不能.
(3)由题知,前$n$排盆景的总数可表示为$n(n+1).$
令$n(n+1)=420$,解得$n_{1}=-21,n_{2}=20.$
因为$n$为正整数,所以$n=20$,即一共能摆放20排.