《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

11. (1) (2025·编写)若方程$(m + 3)x^{m^{2}-7}+mx - 2= 0是关于x$的一元二次方程,则$m$等于____。
(2) (2025·编写)若方程$ax^{2}= b(ab\gt 0)的两个根分别是m - 4与3m - 8$,则$\frac{b}{a}= $____。

答案：
(1) 3
(2) 1

12. (2025·武侯)若关于$x的方程(x - 2)^{2}= m + 1$有实数根,则$m$的取值范围是______。

答案： $ m \geq - 1 $

13. (2025·编写)若关于$x的方程m(x + h)^{2}+k= 0(m,h,k$均为常数,$m\neq 0)的解是x_{1}= -3$,$x_{2}= 2$,则方程$m(4x + h - 3)^{2}+k= 0$的解是______。

答案： $ x _ { 1 } = 0 $，$ x _ { 2 } = \frac { 5 } { 4 } $

14. (1) (2025·编写)已知$a是不等式5(a - 2)+8\lt 6(a - 1)+7$的最小整数解,请用配方法解关于$x的方程x^{2}+2ax + a + 1= 0$。
(2) (2025·编写)对于实数$p$,$q$,我们用符号$\min\{p,q\}表示p$,$q$两数中较小的数,如$\min\{1,2\}= 1$,若$\min\{(x - 1)^{2},x^{2}\}= 1$,求$x$的值。

答案：
(1)【解】解不等式 $ 5 ( a - 2 ) + 8 ＜ 6 ( a - 1 ) + 7 $，
得 $ a ＞ - 3 $，
$ \therefore a $ 的最小整数解为 $ - 2 $．
将 $ a = - 2 $ 代入方程 $ x ^ { 2 } + 2 a x + a + 1 = 0 $，
得 $ x ^ { 2 } - 4 x - 1 = 0 $，
配方，得 $ ( x - 2 ) ^ { 2 } = 5 $．
直接开平方，得 $ x - 2 = \pm \sqrt { 5 } $．
解得 $ x _ { 1 } = 2 + \sqrt { 5 } $，$ x _ { 2 } = 2 - \sqrt { 5 } $．
(2)【解】$ \because \min \{ ( x - 1 ) ^ { 2 }, x ^ { 2 } \} = 1 $，
当 $ ( x - 1 ) ^ { 2 } = 1 $ 时，解得 $ x = 2 $ 或 $ x = 0 $，
$ x = 0 $ 不符合题意，$ \therefore x = 2 $．
当 $ x ^ { 2 } = 1 $ 时，解得 $ x = 1 $ 或 $ x = - 1 $，
$ x = 1 $ 不符合题意，$ \therefore x = - 1 $．
故 $ x = 2 $ 或 $ x = - 1 $．

15. (2025·编写)“早黑宝”葡萄品种是某省农科院研制的优质新品种,在某省被广泛种植。某葡萄种植基地2017年种植“早黑宝”100亩,到2019年“早黑宝”的种植面积达到196亩。
(1) 求该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率。
(2) 市场调查发现,当“早黑宝”的售价为20元/千克时,每天能售出200千克,售价每降低1元,每天可多售出50千克。为了推广宣传,同时减少库存,基地决定降价促销。已知该基地“早黑宝”的平均成本价为12元/千克,若使销售“早黑宝”每天获利1750元,则售价应降低多少元？

答案：
(1)【解】设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为 $ x $．根据题意，得 $ 100 ( 1 + x ) ^ { 2 } = 196 $，
解得 $ x _ { 1 } = 0.4 = 40 \% $，$ x _ { 2 } = - 2.4 $（不合题意，舍去）．
答：该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为 $ 40 \% $．
(2)【解】设售价应降低 $ y $ 元，则每天可售出 $ ( 200 + 50 y ) $ 千克．
根据题意，得 $ ( 20 - 12 - y ) ( 200 + 50 y ) = 1750 $，
整理，得 $ y ^ { 2 } - 4 y + 3 = 0 $，
解得 $ y _ { 1 } = 1 $，$ y _ { 2 } = 3 $．
$ \because $ 要减少库存，
$ \therefore y _ { 1 } = 1 $ 不合题意，舍去，$ \therefore y = 3 $．
答：售价应降低 3 元．