《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

分解因式法解一元二次方程的基本步骤：
(1)将方程变形,使方程的右边为______；
(2)将方程的左边______；
(3)根据若$A\cdot B = 0$,则______或______,将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程。

答案：
(1)零
(2)因式分解
(3)$A = 0$ $B = 0$

1. (1)(2025·编写)一元二次方程$x(x + 1)= 0$的两根分别为______。
(2)(2025·编写)方程$x^{2}-4x = 0$的实数解是______。

答案：
(1)$x_{1} = 0$，$x_{2} = -1$
(2)$x_{1} = 0$，$x_{2} = 4$

2. (1)(2025·编写)方程$x^{2}-x = 56$的根是______。
(2)(2025·编写)解方程$x(x - 1)= 2(x - 1)$,得______。

答案：
(1)$x_{1} = -7$，$x_{2} = 8$
(2)$x_{1} = 1$，$x_{2} = 2$

3. (1)(2025·编写)三角形两边的长分别为$2和5$,第三边的长是方程$x^{2}-8x + 15 = 0$的根,则该三角形的周长为______。
(2)(2025·编写)方程$(x - 3)^{2}+2(x - 3)-24 = 0$的解为______。

答案：
(1)12
(2)$x_{1} = -3$，$x_{2} = 7$

4. (2025·编写)一个三角形的两边长分别为$3和5$,第三边长是方程$x^{2}-6x + 8 = 0$的根,则这个三角形的周长为______。

答案： 12

5. (2025·编写)一元二次方程$x^{2}-4x + 3 = 0$的解为()
A. $x_{1}= -1$,$x_{2}= 3$
B. $x_{1}= 1$,$x_{2}= 3$
C. $x_{1}= 1$,$x_{2}= -3$
D. $x_{1}= -1$,$x_{2}= -3$

答案： B

6. (2025·编写)关于$x的方程x^{2}+4kx + 2k^{2}= 4的一个解是-2$,则$k$的值为()
A. $2或4$
B. $0或4$
C. $-2或0$
D. $-2或2$

答案： B

7. (2025·编写)若菱形两条对角线的长度是方程$x^{2}-6x + 8 = 0$的两根,则该菱形的边长为()
A. $\sqrt{5}$
B. $4$
C. $2\sqrt{5}$
D. $5$

答案： A

8. (2025·编写)某矩形的长为$a$,宽为$b$,且$(a + b)(a + b + 2)= 8$,则$a + b$的值为()
A. $4$
B. $-4$
C. $2或-4$
D. $2$

答案： D

9. (2025·编写)用因式分解法解方程：
(1)$x^{2}-x - 2 = 0$；
(2)$x(2x - 5)= 2(2x - 5)$；
(3)$2(x - 3)^{2}= x^{2}-9$；
(4)$x(x - 2)= x - 2$。

答案：
(1)【解】原方程变形为$(x - 2)(x + 1) = 0$，可得$x - 2 = 0$或$x + 1 = 0$，解得$x_{1} = 2$，$x_{2} = -1$。
(2)【解】$\because x(2x - 5) = 2(2x - 5)$，$\therefore x(2x - 5) - 2(2x - 5) = 0$，则$(2x - 5)(x - 2) = 0$，
$\therefore 2x - 5 = 0$或$x - 2 = 0$，解得$x = 2.5$或$x = 2$。
(3)【解】方程变形得$2(x - 3)^{2} - (x + 3)(x - 3) = 0$，分解因式得$(x - 3)(2x - 6 - x - 3) = 0$，即$(x - 3)(x - 9) = 0$，解得$x_{1} = 3$，$x_{2} = 9$。
(4)【解】$x(x - 2) - (x - 2) = 0$，$(x - 2)(x - 1) = 0$，$x - 2 = 0$或$x - 1 = 0$，所以$x_{1} = 2$，$x_{2} = 1$。