《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

14. (2025·青羊) 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-(2m + 2)x + m^{2}-4m + 4 = 0 $ 有两个实数根 $ x_{1},x_{2} $,若 $ x_{1},x_{2} $ 满足：$ x_{1}x_{2}-1 = |x_{1}+x_{2}| $,求 $ m $ 的值.

答案： 【解】$\because$方程$x^{2}-(2m+2)x+m^{2}-4m+4=0$有两个实数根$x_{1},x_{2}$,
$\therefore \Delta =[-(2m+2)]^{2}-4(m^{2}-4m+4)=24m-12\geq0$,
解得$m\geq\frac{1}{2}$.
$\because$原方程的两个实数根为$x_{1},x_{2}$,
$\therefore x_{1}+x_{2}=2m+2,x_{1}x_{2}=m^{2}-4m+4$.
$\because m\geq\frac{1}{2},\therefore x_{1}+x_{2}=2m+2＞0$.
$\because x_{1}x_{2}-1=|x_{1}+x_{2}|,\therefore x_{1}x_{2}-1=x_{1}+x_{2}$,
$\therefore m^{2}-4m+4-1=2m+2,\therefore m=3+2\sqrt{2}$.

15. (2024·内江) 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-px + 1 = 0 $ ($ p $ 为常数) 有两个不相等的实数根 $ x_{1} $ 和 $ x_{2} $.
(1) 填空：$ x_{1}+x_{2} = $______,$ x_{1}x_{2} = $______；
(2) 求 $ \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}} $,$ x_{1}+\frac{1}{x_{1}} $ 的值；
(3) 已知 $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2} = 2p + 1 $,求 $ p $ 的值.

答案： 【解】
(1)由根与系数的关系,得$x_{1}+x_{2}=p,x_{1}x_{2}=1$.
故答案为$p$;1.
(2)$\because x_{1}+x_{2}=p,x_{1}x_{2}=1$,
$\therefore \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{2}+x_{1}}{x_{1}x_{2}}=\frac{p}{1}=p$.
$\because$关于$x$的一元二次方程$x^{2}-px+1=0$($p$为常数)有两个不相等的实数根$x_{1}$和$x_{2}$,
$\therefore x_{1}^{2}-px_{1}+1=0,\therefore x_{1}-p+\frac{1}{x_{1}}=0$,即$x_{1}+\frac{1}{x_{1}}=p$.
(3)由根与系数的关系,得$x_{1}+x_{2}=p,x_{1}x_{2}=1$.
$\because x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=2p+1,\therefore (x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=2p+1$,
$\therefore p^{2}-2=2p+1$,解得$p_{1}=3,p_{2}=-1$.
当$p=3$时,$\Delta =p^{2}-4=9-4=5＞0$;
当$p=-1$时,$\Delta =p^{2}-4=-3＜0$.
$\therefore p=3$.