《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

6. (2025·成华)下列命题正确的是 ()
A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 一组邻边相等的四边形是菱形
C. 平行四边形的对角线互相平分且相等
D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等

答案： 6. D

7. (2023·郫都)如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,□BCDE的顶点E在边AB上,连接CE,AD.添加一个条件,可以使四边形ADCE成为菱形的是 ()

A. CE⊥AB
B. CD⊥AD
C. CD= CE
D. AC= DE

答案： 7. C

8. (2022·河北)如图,点E,F分别在正方形ABCD的边DC,BC上,AG⊥EF,垂足为G,且AG= AB,则∠EAF= ()

A. 30°
B. 45°
C. 50°
D. 60°

答案： 8. B

9. (1)(2022·成华)如图,在矩形ABCD中,E是CD的中点,F是BC上一点,且FC= 2BF,连接AE,EF,AF.若AB= 2,AD= 3,求∠AEF的度数。

(2)(2023·新都)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,M,N分别是边AD,CD的中点,连接MN,OM.若MN= 3,$S_{菱形ABCD}= 24,$求OM的长。

答案： 9.
(1)[解]
∵四边形 ABCD 是矩形，$AD=3$，$AB=2$，
∴$∠B=∠C=90^{\circ}$，$CD=AB=2$，$BC=AD=3$。
∵E 是 CD 的中点，$FC=2BF$，
∴$CE=DE=1$，$BF=1$，$FC=2$，
∴$AB=FC=2$，$BF=CE=1$。在$△ABF$和$△FCE$中，$\left\{\begin{array}{l} AB=FC,\\ ∠B=∠C,\\ BF=CE,\end{array}\right.$
∴$△ABF≌△FCE(SAS)$，
∴$AF=FE$，$∠BAF=∠CFE$。
∵$∠B=90^{\circ}$，
∴$∠BAF+∠AFB=90^{\circ}$，
∴$∠CFE+∠AFB=90^{\circ}$，
∴$∠AFE=180^{\circ}-(∠CFE+∠AFB)=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$，
∴$△AFE$是等腰直角三角形，
∴$∠AEF=45^{\circ}$。
(2)[解]
∵M，N 分别是边 AD，CD 的中点，
∴MN 是$△ACD$的中位线，
∴$AC=2MN=2×3=6$。
∵四边形 ABCD 是菱形，$S_{菱形ABCD}=24$，
∴$OA=OC=\frac{1}{2}AC=3$，$OB=OD$，$AC⊥BD$，$\frac{1}{2}AC\cdot BD=24$，即$\frac{1}{2}×6\cdot BD=24$，
∴$BD=8$，
∴$OD=\frac{1}{2}BD=4$。在$Rt△OCD$中，由勾股定理，得$CD=\sqrt{OC^{2}+OD^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$。
∵M 是 AD 的中点，$OA=OC$，
∴OM 是$△ACD$的中位线，
∴$OM=\frac{1}{2}CD=2.5$。

10. (2022·邛崃)如图,已知在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是DB延长线上一点,且△ACE是等边三角形。
(1) 求证：四边形ABCD是菱形；
(2) 若∠AEB= 2∠EAB,求证：四边形ABCD是正方形。

答案： 10. [证明]
(1)
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴$AO=CO$。
∵$△ACE$是等边三角形，
∴$AE=CE$，
∴$BD⊥AC$，
∴平行四边形 ABCD 是菱形。
(2)由
(1)知$△AOE$是直角三角形，
∴$∠AEB+∠EAO=90^{\circ}$。
∵$△ACE$是等边三角形，
∴$∠EAO=60^{\circ}$，
∴$∠AEB=30^{\circ}$。
∵$∠AEB=2∠EAB$，
∴$∠EAB=15^{\circ}$，
∴$∠BAO=∠EAO-∠EAB=60^{\circ}-15^{\circ}=45^{\circ}$。又
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴$∠BAD=2∠BAO=90^{\circ}$，
∴四边形 ABCD 是正方形。