《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

9. (2025·编写)用配方法解下列方程：
(1)$x^{2}-2x-2= 0$；
(2)$(x-1)(x-3)= 8$；
(3)$\frac{1}{2}x^{2}-6x-7= 0$；
(4)$\frac{1}{3}x^{2}-4x+\frac{4}{3}= 0$。

答案：
(1)【解】移项、配方，得$(x - 1)^2 = 3$，
$\therefore x - 1 = \pm\sqrt{3}$，
$\therefore x_1 = \sqrt{3} + 1$，$x_2 = -\sqrt{3} + 1$。
(2)【解】原方程变形为$x^2 - 4x - 5 = 0$，
移项、配方，得$(x - 2)^2 = 9$，
$\therefore x - 2 = \pm 3$，
$\therefore x_1 = 5$，$x_2 = -1$。
(3)【解】$\frac{1}{2}x^2 - 6x - 7 = 0$，
$\frac{1}{2}(x^2 - 12x) - 7 = 0$，
$\frac{1}{2}(x - 6)^2 - 25 = 0$，
$\frac{1}{2}(x - 6)^2 = 25$，
$\therefore (x - 6)^2 = 50$，
$\therefore x - 6 = \pm 5\sqrt{2}$，
$\therefore x_1 = 6 + 5\sqrt{2}$，$x_2 = 6 - 5\sqrt{2}$。
(4)【解】整理，得$x^2 - 12x = -4$，
配方，得$x^2 - 12x + 36 = 32$，
即$(x - 6)^2 = 32$，
开方，得$x - 6 = \pm 4\sqrt{2}$，
解得$x_1 = 6 + 4\sqrt{2}$，$x_2 = 6 - 4\sqrt{2}$。

10. (1)(2025·编写)已知等腰$\triangle ABC的三边长分别为a$,$b$,$c$,其中$a$,$b满足a^{2}+b^{2}= 6a+12b-45$,求$\triangle ABC$的周长。
(2)(2025·编写)试用配方法说明$2x^{2}-4x+5$的值不小于3。

答案：
(1)【解】$a^2 + b^2 = 6a + 12b - 45$，
$a^2 - 6a + 9 + b^2 - 12b + 36 = 0$，
$(a - 3)^2 + (b - 6)^2 = 0$，
则$a - 3 = 0$，$b - 6 = 0$，
解得$a = 3$，$b = 6$。
当$c = a = 3$时，
$3 + 3 = 6$，
不能构成三角形；
当$c = b = 6$时，
$3 + 6 ＞ 6$，
能构成三角形。
$\therefore \triangle ABC$的三边长分别为3，6，6，
$\therefore \triangle ABC$的周长为$3 + 6 + 6 = 15$。
(2)【解】$2x^2 - 4x + 5 = 2(x^2 - 2x + 1) + 3 = 2(x - 1)^2 + 3$，
$\because$无论$x$取何值，$(x - 1)^2 \geq 0$，
$\therefore 2(x - 1)^2 + 3 \geq 3$，
即$2x^2 - 4x + 5$的值不小于3。

11. (2025·编写)$-\frac{1}{3}x^{2}-4x+10$的最大值为______。

答案： 22

12. (2025·编写)若$a$,$b$,$c是\triangle ABC$的三边长,且$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc= 0$,则$\triangle ABC$的形状是______三角形。

答案： 等边

13. (1)(2025·编写)已知$M= m-4$,$N= m^{2}-3m$,则$M与N的大小关系为M$______$N$。(填“$\geq$”或“$\leq$”)
(2)(2025·编写)方程$(x+1)^{2}= k-2$有实数根,则$k$的取值范围是______。

答案：
(1)$\leq$
(2)$k \geq 2$