答案： 【解析】：
(1) 二次函数的定义要求二次项系数不为0，即需要解不等式 $m^{2} - m \neq 0$。这是一个一元二次不等式，可以通过因式分解来求解。
(2) 一次函数的定义要求二次项系数为0且一次项系数不为0，即需要解方程组 $m^{2} - m = 0$ 且 $m - 1 \neq 0$。
(3) 正比例函数是一次函数的特例，其中常数项必须为0。根据前面的分析，当函数为一次函数时，$m=0$，此时常数项为2，所以该函数不可能是正比例函数。
【答案】：
(1) 解：
∵ 这个函数是二次函数，
∴ $m^{2} - m \neq 0$，
即 $m(m - 1) \neq 0$，
解得 $m \neq 0$ 且 $m \neq 1$，
∴ $m$ 的取值范围是 $m \neq 0$ 且 $m \neq 1$。
(2) 解：
∵ 这个函数是一次函数，
∴ $m^{2} - m = 0$ 且 $m - 1 \neq 0$，
由 $m^{2} - m = 0$ 得 $m(m - 1) = 0$，
解得 $m = 0$ 或 $m = 1$，
但 $m - 1 \neq 0$，所以 $m \neq 1$，
∴ $m = 0$。
(3) 解：
不可能。理由如下：
当 $m = 0$ 时，函数变为 $y = -x + 2$，
这是一个一次函数，但不是正比例函数（因为常数项不为0），
而当 $m \neq 0$ 时，函数是二次函数，
∴ 这个函数不可能是正比例函数。

答案： （1）把$x=1$，$y=2$；$x=-1$，$y=4$分别代入$y=ax^{2}+bx$，得
$\begin{cases}a + b = 2 \\ a - b = 4\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 3 \\ b = -1\end{cases}$
$\therefore y$关于$x$的函数表达式为$y = 3x^{2}-x$。
（2）把$x = 2$代入$y = 3x^{2}-x$，得$y=3×2^{2}-2=10$。