《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版贵州专版》

9. (2024·广安)若关于 $x$ 的一元二次方程 $(m + 1)x^{2}-2x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $m$ 的取值范围是(A)

A.$m ＜ 0$ 且 $m \neq -1$
B.$m \geqslant 0$
C.$m \leqslant 0$ 且 $m \neq -1$
D.$m ＜ 0$

答案： A

【变式】若关于 $x$ 的一元二次方程 $(k - 1)x^{2}+2x - 2 = 0$ 没有实数根，则 $k$ 的取值范围为k＜1/2.

答案： k＜1/2

10. (本课时 T9 变式)若关于 $x$ 的方程 $kx^{2}-3x + 2 = 1$ 有实数根，求 $k$ 的取值范围.

答案： 解:①当k=0时,原方程为-3x+2=1,解得x=1/3.
∴k=0符合题意;②当k≠0时,此时原方程为一元二次方程.化简,得kx²-3x+1=0.
∴Δ=(-3)²-4k≥0,解得k≤9/4.
∴k≤9/4且k≠0.综上所述,k的取值范围是k≤9/4.

11. (2023·贵阳期末)若关于 $x$ 的方程 $ax^{2}-3x + c = 0$ 有两个不相等的实数根，则下列选项中，满足条件的实数 $a$，$c$ 的值可以是(C)

A.$a = 1$，$c = 3$
B.$a = -2$，$c = -4$
C.$a = -1$，$c = 3$
D.$a = 5$，$c = 1$

答案： C

12. 若一元二次方程 $x^{2}-4x + a = 0$ 无实数根，则一次函数 $y = (a - 4)x + a$ 的图象不经过(D)

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： D

13. 已知 $a$，$b$，$c$ 分别是三角形的三边长，且关于 $x$ 的方程 $(a + b)x^{2}+2cx + (a - b) = 0$ 有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状，并说明理由.

答案： 解:此三角形是直角三角形,理由如下:
∵关于x的方程(a+b)x²+2cx+(a-b)=0有两个相等的实数根,
∴Δ=(2c)²-4(a+b)(a-b)=0,即4(c²-a²+b²)=0.
∴c²-a²+b²=0,即a²=c²+b².
∵a,b,c是△ABC的三边长,
∴此三角形是直角三角形.

14. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2}+bx + \frac{1}{2} = 0$.
（1）若 $x = 1$ 是方程的一个解，写出 $a$，$b$ 满足的关系式.
（2）当 $b = a + 1$ 时，利用根的判别式判断方程的根的情况.
（3）若方程有两个相等的实数根，请写出一组满足条件的正整数 $a$，$b$ 的值，并求出此时方程的根.

答案： 解:
(1)
∵x=1是方程的一个解,
∴a+b+1/2=0.
∴a+b=-1/2.
(2)Δ=b²-4a×1/2=b²-2a.
∵b=a+1,
∴Δ=(a+1)²-2a=a²+2a+1-2a=a²+1＞0.
∴方程有两个不相等的实数根.
(3)
∵方程有两个相等的实数根,
∴b²-2a=0,即b²=2a.
∵a,b为正整数,
∴取a=2,b=2.
∴方程为2x²+2x+1/2=0,解得x₁=x₂=-1/2. (答案不唯一,合理即可)

15. 等腰三角形的一边长是 3，另外两边的长是关于 $x$ 的方程 $x^{2}-4x + k = 0$ 的两个根，则 $k$ 的值为3或4.

答案： 3或4