《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版贵州专版》

1. 【问题情境】如图 1，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC = ∠DAE = 90°，点 B 在线段 AD 上，点 C 在线段 AE 上，我们很容易得到 BD = CE(不需证明)。
【操作发现】(1)如图 2，将△ADE 绕点 A 逆时针旋转 α(0° ＜ α ＜ 90°)，连接 BD 和 CE，此时 BD = CE 是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由。
【实践探究】(2)如图 3，当△ADE 绕点 A 逆时针旋转，使得点 D 落在 BC 的延长线上时，连接 CE。
①求∠ACE 的度数。
②线段 BC，CD，CE 之间的数量关系是CE=BC+CD。

答案： 1.
(1)成立.证明:
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,
∴AB=AC,AD=AE.由旋转的性质,得∠BAD=∠CAE.
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴BD=CE.
(2)①
∵AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴∠ACE=∠ABD=45°.②CE=BC+CD

2. (2023·黔南期末)如图，点 M，N 分别在正方形 ABCD 的边 BC，CD 上，且∠MAN = 45°。把△ADN 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△ABE。
(1)求证：△AEM ≌ △ANM。

(2)若 BM = 3，DN = 2，则正方形 ABCD 的边长为6。
【拓展提问】 在上题中，连接 BD 分别交 AM，AN 于点 P，Q，你还能用旋转的思想说明 BP² + DQ² = PQ² 吗？

答案： 2.
(1)证明:由旋转的性质,得∠DAN=∠BAE,AE=AN,∠D=∠ABE=90°.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=∠BAD=90°.
∴∠ABC+∠ABE=180°.
∴E,B,C三点共线.
∵∠DAB=90°,∠MAN=45°,
∴∠MAE=∠BAE+∠BAM=∠DAN+∠BAM=45°.
∴∠MAE=∠MAN.又
∵MA=MA,
∴△AEM≌△ANM(SAS).
(2)6

3. 如图，在菱形 ABCD 中，AB = 4，∠BAD = 120°，以点 A 为顶点的一个 60°的∠EAF 绕点 A 旋转，∠EAF 的两边分别交 BC，CD 于点 E，F，且点 E，F 不与点 B，C，D 重合，连接 EF。
（1）求证：BE = CF。
（2）在∠EAF 绕点 A 旋转的过程中，四边形 AECF 的面积是否发生变化？如果不变，求出其定值；如果变化，请说明理由。

答案： 3.
(1)证明:连接AC.
∵四边形ABCD为菱形,∠BAD=120°,
∴AB=BC=CD=DA,∠BAC=∠DAC=60°.
∴△ABC和△ADC都是等边三角形.
∴∠ABE=∠ACF=60°,∠BAE+∠EAC=60°,AB=AC.
∵∠FAC+∠EAC=∠EAF=60°,
∴∠BAE=∠CAF.
∴△ABE≌△ACF(ASA).
∴BE=CF.
(2)四边形AECF的面积不变.由
(1)知,△ABE≌△ACF,则S△ABE=S△ACF,故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC.过点A作AM⊥BC于点M,则BM=MC=2,
∴AM=$\sqrt {AB^{2}-BM^{2}}=\sqrt {4^{2}-2^{2}}=2\sqrt {3}$.
∴S△ABC=$\frac {1}{2}BC\cdot AM=\frac {1}{2}×4×2\sqrt {3}$=4$\sqrt {3}$.故S四边形AECF=4$\sqrt {3}$.