《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版贵州专版》

7. (2024·遵义汇川区期末)某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元. 经过市场调查发现，该文具每天的销售量 $ y $（件）与销售单价 $ x $（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：

(1) 求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式.
(2) 若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？
(3) 该超市要使每天销售这种文具的利润最大，销售单价应为多少元？最大利润是多少元？

答案： 7. 解：
(1)设 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b(k≠0). 把(12,36)和(13,34)代入 y=kx+b(k≠0)，得{36=12k+b,34=13k+b,解得{k=-2,b=60.
∴y 与 x 之间的函数关系式为 y=-2x+60.
(2)根据题意，得(x-10)(-2x+60)=192,解得 x₁=18,x₂=22.
∵10≤x≤19,
∴x=18. 答：销售单价为 18 元.
(3)设销售这种文具每天获利 w 元. 则 w=(x-10)(-2x+60)=-2x²+80x-600=-2(x-20)²+200.
∵-2＜0,
∴抛物线开口向下.
∵对称轴为直线 x=20,
∴当 10≤x≤19 时，w 随 x 的增大而增大.
∴当 x=19 时，w 取得最大值，w最大=-2×(19-20)²+200=198.答：要使每天销售这种文具的利润最大，销售单价应为 19 元，最大利润是 198 元.

8. 某公司利用网络平台销售板栗，已知板栗的销售单价 $ y $（元）与销售月份 $ x $（月）之间是一次函数关系，如表格所示. 每千克成本 $ z $（元）与销售月份 $ x $（月）之间的关系如图所示，图中的图象是抛物线，其最低点坐标是 $ (6, 1) $.
(1) 求销售单价 $ y $（元）与销售月份 $ x $（月）满足的关系式.
(2) 求每千克成本 $ z $（元）与销售月份 $ x $（月）满足的关系式.
(3) 判断哪个月份销售每千克板栗的收益最大，并求最大收益.

答案： 8. 解：
(1)设销售单价 y(元)与销售月份 x(月)满足的关系式为 y=kx+b.将(3,6)和(6,4)代入，得{3k+b=6,6k+b=4,解得{k=-2/3,b=8.
∴销售单价 y(元)与销售月份 x(月)满足的关系式为 y=-2/3x+8.
(2)设每千克成本 z(元)与销售月份 x(月)满足的关系式为 z=a(x-6)²+1. 把(3,4)代入，得 4=a(3-6)²+1,解得 a=1/3.
∴z=1/3(x-6)²+1,即 z=1/3x²-4x+13.
(3)设每千克板栗的收益为 w. 由
(1)
(2)，得 w=y-z=(-2/3x+8)-(1/3x²-4x+13)=-1/3(x-5)²+10/3.
∵-1/3＜0,
∴当 x=5 时，w 有最大值，w最大=10/3.
∴5 月份销售每千克板栗的收益最大，最大收益为 10/3 元.