《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版贵州专版》

11. 一抛物线与抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^{2} - 4x + 3 $ 的形状、开口方向完全相同，且顶点坐标为 $ (-2,1) $，则此抛物线的解析式为(C)

A.$ y = \frac{1}{2}(x - 2)^{2} + 1 $
B.$ y = \frac{1}{2}(x + 2)^{2} - 1 $
C.$ y = \frac{1}{2}(x + 2)^{2} + 1 $
D.$ y = \frac{1}{2}(x - 2)^{2} - 1 $

答案： C

12. (本课时 T10 变式)已知抛物线经过点 $ A(2,0) $ 和 $ B(-1,0) $，且与 $ y $ 轴交于点 $ C $. 若 $ OC = 2 $，则这条抛物线的解析式是$y=x^{2}-x-2$或$y=-x^{2}+x+2$.

答案： $y=x^{2}-x-2$或$y=-x^{2}+x+2$

13. 二次函数的图象如图所示，则其解析式为$y=-x^{2}+2x+3$.

答案： $y=-x^{2}+2x+3$

14. 如图，抛物线的顶点 $ M $ 在 $ y $ 轴上，抛物线与直线 $ y = x + 1 $ 相交于 $ A,B $ 两点，且点 $ A $ 在 $ x $ 轴上，点 $ B $ 的横坐标为 $ 2 $，那么抛物线的函数关系式为$y=x^{2}-1$.

答案： $y=x^{2}-1$

15. 已知二次函数的图象经过点 $ A(1,-2) $ 和 $ B(0,-1) $，且对称轴为直线 $ x = 1 $，求这个二次函数的解析式.

答案： 解:设这个二次函数的解析式为$y=ax^{2}+bx+c$,根据题意,得$\left\{\begin{array}{l} a+b+c=-2,\\ c=-1,\\ -\frac {b}{2a}=1,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a=1,\\ b=-2,\\ c=-1.\end{array}\right. $
∴二次函数的解析式为$y=x^{2}-2x-1.$

16. 如图，抛物线 $ y = ax^{2} + bx - 5(a \neq 0) $ 经过点 $ A(4,-5) $，与 $ x $ 轴的负半轴交于点 $ B $，与 $ y $ 轴交于点 $ C $，且 $ OC = 5OB $，抛物线的顶点为 $ D $.
(1)求该抛物线的解析式.
(2)连接 $ AB,BC,CD,DA $，求四边形 $ ABCD $ 的面积.

答案：
(1)
∵抛物线$y=ax^{2}+bx-5$与y轴交于点C,
∴点C的坐标为$(0,-5).\therefore OC=5.\because OC=5OB,\therefore OB=1$.又
∵点B在x轴的负半轴上,
∴点B的坐标为$(-1,0)$.将点$A(4,-5),B(-1,0)$代入$y=ax^{2}+bx-5$,得$\left\{\begin{array}{l} 16a+4b-5=-5,\\ a-b-5=0,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a=1,\\ b=-4.\end{array}\right. $
∴该抛物线的解析式为$y=x^{2}-4x-5$.
(2)$\because y=x^{2}-4x-5=(x-2)^{2}-9$,
∴顶点D的坐标为$(2,-9)$.连接AC.
∵$A(4,-5),C(0,-5),\therefore AC// x$轴,$AC=4.\therefore S_{\triangle ABC}=\frac {1}{2}×4×5=10,S_{\triangle ACD}=\frac {1}{2}×4×[-5-(-9)]=8.\therefore S_{四边形ABCD}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ACD}=18.$