《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版贵州专版》

11. 如图，在三角形纸片$ABC$中，$\angle A = 76^{\circ}$，$\angle B = 34^{\circ}$。将三角形纸片沿某处剪开，下列四种剪法中，剪下的阴影三角形与原三角形相似的是(C)


A.①②
B.②④
C.①③
D.③④

答案： C

12. (教材九下P35例2变式)如图，$AB$为$\odot O$的直径，弦$CD \perp AB$于点$F$，$OE \perp AC$于点$E$。若$OE = 3$，$OB = 5$，则$CD$的长为9.6。

答案： 9.6

13. 如图，在矩形$ABCD$中，$AB = 6\ cm$，$BC = 9\ cm$，点$E$，$F$分别在边$AB$，$BC$上，$AE = 2\ cm$，$BD$，$EF$交于点$G$。若$G$是$EF$的中点，则$BG$的长为$\sqrt{13}$$cm$。

答案： $\sqrt{13}$

14. 如图，已知在$\triangle ABC$中，$AD \perp BC$于点$D$，$BE \perp AC$于点$E$，$AD$，$BE$相交于点$O$，连接$DE$。
（1）依题意补全图形。
（2）$\triangle OAB$与$\triangle OED$相似吗？请说明理由。

答案： 解:
(1)图略.
(2)△OAB与△OED相似.理由如下:
∵AD⊥BC,BE⊥AC,
∴∠ADC=∠BEC=90°.
∵∠C=∠C,
∴△ADC∽△BEC.
∴∠DAC=∠EBC.又
∵∠BOD=∠AOE,
∴△BOD∽△AOE.
∴OB:OA=OD:OE.
∴OB:OD=OA:OE.又
∵∠AOB=∠EOD,
∴△AOB∽△EOD.

15. 【类比思想】如图，$\triangle ABC$和$\triangle DEF$是两个全等的等腰直角三角形，$\angle BAC = \angle EDF = 90^{\circ}$，$\triangle DEF$的顶点$E$与$\triangle ABC$的斜边$BC$的中点重合。将$\triangle DEF$绕点$E$旋转，旋转过程中，线段$DE$与线段$AB$相交于点$P$，线段$EF$与射线$CA$相交于点$Q$。
（1）如图1，当点$Q$在线段$AC$上时，求证：$\triangle BPE \backsim \triangle CEQ$。
（2）如图2，当点$Q$在线段$CA$的延长线上时。
①求证：$\triangle BPE \backsim \triangle CEQ$；
②若$BP = 2$，$CQ = 9$，求$BC$的长。

答案： 解:
(1)证明:
∵△ABC与△DEF都是等腰直角三角形,
∴∠B=∠C=∠DEF=45°.
∴∠BEP+∠CEQ=180°-45°=135°,∠BEP+∠BPE=180°-45°=135°.
∴∠BPE=∠CEQ.又
∵∠B=∠C,
∴△BPE∽△CEQ.
(2)①证明:
∵∠BEF=∠C+∠CQE,∠BEF=∠BEP+∠DEF,且∠C=∠DEF=45°,
∴∠CQE=∠BEP.又
∵∠B=∠C,
∴△BPE∽△CEQ.②
∵△BPE∽△CEQ,
∴$\frac{BE}{CQ}=\frac{BP}{CE}$.
∴BE·CE=BP·CQ.
∵BE=CE,
∴$BE^2=BP\cdot CQ$.
∵BP=2,CQ=9,
∴$BE^2=2×9=18$.
∴$BE=3\sqrt{2}$.
∴$BC=2BE=6\sqrt{2}$.