《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版贵州专版》

3. 如图,抛物线 $ y = x^2 - 2x - 3 $ 与x轴交于点A,B,与y轴交于点C.在对称轴上找一点Q,使△ACQ的周长最小,求点Q的坐标及△ACQ的周长.

答案： 3.解:连接CB交对称轴于点Q,连接AQ.在y=x²-2x-3中,令y=0,则x²-2x-3=0,解得x=-1或x=3;令x=0,则y=-3.
∴A(-1,0),B(3,0),C(0,-3).
∵y=x²-2x-3=(x-1)²-4,
∴抛物线的对称轴为直线x=1.
∵点A,B关于对称轴x=1对称,
∴AQ=BQ.
∴AC+AQ+CQ=AC+CQ+BQ≥AC+BC.当C,B,Q三点共线时,△ACQ的周长最小.设直线BC的解析式为y=kx+b,则$\begin{cases}b=-3,\\3k+b=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=1,\\b=-3.\end{cases}$
∴y=x-3.
∵Q(1,-2).
∵A(-1,0),B(3,0),C(0,-3).
∴AC=$\sqrt{10}$,BC=3$\sqrt{2}$.
∴△ACQ的周长为$\sqrt{10}$+3$\sqrt{2}$.

4. 如图,抛物线 $ y = -x^2 + 4x - 3 $ 与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点P为抛物线上一点.若 $ S_{\triangle PBC} = \frac{1}{2}S_{\triangle ABC} $,求点P的坐标.

答案： 4.解:过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q.在y=-x²+4x-3中,令y=0,则-x²+4x-3=0,解得x=1或x=3.
∴A(1,0),B(3,0).
∴AB=2.在y=-x²+4x-3中,令x=0,则y=-3.
∴C(0,-3).
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$×2×3=3.
∵S△PBC=$\frac{1}{2}$S△ABC,
∴S△PBC=$\frac{3}{2}$.易得直线BC的解析式为y=x-3,设P(t,-t²+4t-3),则Q(t,t-3),
∴PQ=|-t²+3t|.
∴$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$×3×|-t²+3t|.解得t=$\frac{3±\sqrt{13}}{2}$或t=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$.
∴点P的坐标为($\frac{3+\sqrt{13}}{2}$,$\frac{\sqrt{13}-5}{2}$)或($\frac{3-\sqrt{13}}{2}$,$\frac{-5-\sqrt{13}}{2}$)或($\frac{3+\sqrt{5}}{2}$,$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$)或($\frac{3-\sqrt{5}}{2}$,$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$).