《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版贵州专版》

11. (2024·连云港)下列网格中各个小正方形的边长均为 1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为(D)


A.甲和乙
B.乙和丁
C.甲和丙
D.甲和丁

答案： D

12. (2023·黔东南从江县月考)矩形相邻的两边长分别为 25 和 $ x(x \lt 25) $，把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则 $ x $ 的值为(B)


A.5
B.$ 5\sqrt{5} $
C.$ 5\sqrt{10} $
D.10

答案： B

13. 若 $ \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{2}{3} $，且 $ b + d \neq 0 $，则 $ \frac{a + c}{b + d}= $$\frac{2}{3}$。

答案： $\frac{2}{3}$

14. 已知三条线段的长分别为 $ 1 $ cm，$ 2 $ cm，$ \sqrt{2} $ cm，如果另外一条线段与它们是成比例线段，那么另外一条线段的长为$\sqrt{2}$cm或$2\sqrt{2}$cm或$\frac{\sqrt{2}}{2}$cm。

答案： $\sqrt{2}$cm或$2\sqrt{2}$cm或$\frac{\sqrt{2}}{2}$cm

15. （教材九下 P28 习题 T5 变式）如图，$ DE // BC $，$ BD $，$ CE $ 相交于点 $ A $，$ DE = 3 $，$ BC = 9 $，$ AD = 1.5 $，$ AB = 4.5 $，$ AE = 1.8 $，$ AC = 5.4 $。
（1）求 $ \frac{AD}{AB} $，$ \frac{AE}{AC} $，$ \frac{DE}{BC} $ 的值。

（2）求证：$ \triangle ADE $ 与 $ \triangle ABC $ 相似。

答案： 解：
(1)$\frac{AD}{AB}=\frac{1.5}{4.5}=\frac{1}{3}$，$\frac{AE}{AC}=\frac{1.8}{5.4}=\frac{1}{3}$，$\frac{DE}{BC}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$.
(2)证明：
∵DE//BC，
∴∠D=∠B，∠E=∠C.又
∵∠DAE=∠BAC，$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$，
∴△ADE与△ABC相似.

16. （教材九下 P28 习题 T6 变式）已知长 $ AB = 30 $，宽 $ BC = 20 $ 的矩形黑板 $ ABCD $。


（1）如图 1，若矩形黑板 $ ABCD $ 四周有宽为 1 的边框区域，则图中所形成的两个矩形 $ ABCD $ 与 $ A'B'C'D' $ 相似吗？请说明理由。
（2）如图 2，当 $ x $ 为多少时，图中的矩形 $ ABCD $ 与矩形 $ A'B'C'D' $ 相似？

答案： 解：
(1)不相似，理由如下：AB=30，A'B'=30-1-1=28，BC=20，B'C'=20-1-1=18，而$\frac{28}{30}\neq\frac{18}{20}$，$\frac{28}{20}\neq\frac{18}{30}$，即$\frac{A'B'}{AB}\neq\frac{B'C'}{BC}$，$\frac{A'B'}{BC}\neq\frac{B'C'}{AB}$.故矩形ABCD与矩形A'B'C'D'不相似.
(2)若矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似，则$\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}$或$\frac{A'B'}{BC}=\frac{B'C'}{AB}$，即$\frac{30-2x}{30}=\frac{20-2}{20}$或$\frac{30-2x}{20}=\frac{20-2}{30}$，解得x=1.5或9.故当x=1.5或9时，矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似.

17. 如图，正方形 $ EFGH $ 的四个顶点分别在正方形 $ ABCD $ 的四条边上。若正方形 $ EFGH $ 与正方形 $ ABCD $ 的相似比为 $ \frac{\sqrt{5}}{3} $，则 $ \frac{AE}{BE}(AE \lt BE) $ 的值为$\frac{1}{2}$。

答案： $\frac{1}{2}$