《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版贵州专版》

11. (本课时$T4$变式)若关于$x$的方程$(m - 2)x^{\vert m\vert}-bx - 1 = 0$是一元二次方程，则$m$的值为-2。

答案： -2

12. 已知将一元二次方程$2x^{2}-(m + 1)x + 1 = x(x - 1)$化成一般形式后一次项的系数为$-2$，则$m$的值为(D)

A.$-1$
B.$1$
C.$-2$
D.$2$

答案： D

13. ($2024\cdot$凉山州)若关于$x$的一元二次方程$(a + 2)x^{2}+x + a^{2}-4 = 0$的一个根是$x = 0$，则$a$的值为(A)

A.$2$
B.$-2$
C.$2$或$-2$
D.$\frac{1}{2}$

答案： A

14. 若关于$x$的一元二次方程$ax^{2}-bx - 2024 = 0$满足$a + b - 2024 = 0$，则方程必有一根为(B)

A.$1$
B.$-1$
C.$2$
D.无法确定

答案： B

15. 新考向 数学文化 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是：“有一扇矩形门的高比宽多$6$尺，门的对角线长为$1$丈($1$丈$ = 10$尺)，那么门的高和宽各是多少？”设门的宽为$x$尺，根据题意可列方程为$x^{2}+(x+6)^{2}=10^{2}$。

答案： $x^{2}+(x+6)^{2}=10^{2}$

16. （教材九上$P4$综合运用变式）根据下列问题设未知数列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：
(1)为响应“足球进校园”的号召，某校组织足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都要比赛一场），计划安排$55$场比赛，求参赛的足球队个数。
(2)一山羊养殖户要用$36m$长的建筑材料建一个面积为$80m^{2}$的矩形羊舍，求羊舍的长。

答案：
(1)设参赛的足球队有$x$个。
由题意，单循环形式下，比赛总场数为$\frac{x(x - 1)}{2}$。
根据题意，我们得到方程：
$\frac{x(x - 1)}{2} = 55$
$x(x - 1) = 110$
$x^{2} - x - 110 = 0$
(2)设羊舍的长为$x m$，则宽为$\frac{36 - 2x}{2} = (18 - x) m$。
由题意，矩形的面积为长乘以宽，即：
$x(18 - x) = 80$
$18x - x^{2} = 80$
$x^{2} - 18x + 80 = 0$

17. 已知关于$x$的方程$(m^{2}-9)x^{2}+(m + 3)x + 2 = 0$。
(1)当$m$为何值时，此方程是一元一次方程？
(2)当$m$为何值时，此方程是一元二次方程？

答案：
(1)要使方程$(m^{2} - 9)x^{2} + (m + 3)x + 2 = 0$为一元一次方程，需满足：
$\begin{cases}m^{2} - 9 = 0, \\m + 3 \neq 0.\end{cases}$
由$m^{2} - 9 = 0$，解得$m = \pm 3$，
由$m + 3 \neq 0$，解得$m \neq -3$，
所以$m = 3$，
当$m = 3$时，此方程是一元一次方程。
(2)要使方程$(m^{2} - 9)x^{2} + (m + 3)x + 2 = 0$为一元二次方程，需满足：
$m^{2} - 9 \neq 0$，
解得$m \neq \pm 3$，
当$m \neq \pm 3$时，此方程是一元二次方程。

18. 【整体思想】若$a$是方程$x^{2}-2024x + 1 = 0$的一个根，求代数式$a^{2}-2025a+\frac{a^{2}+1}{2024}$的值。

答案： 由题意，$a$ 是方程 $x^{2} - 2024x + 1 = 0$ 的一个根，根据方程的定义，有：
$a^{2} - 2024a + 1 = 0$，
从上式，可以得到：
$a^{2} = 2024a - 1$，
$a^{2} + 1 = 2024a$，
将上述两个等式代入代数式 $a^{2} - 2025a + \frac{a^{2} + 1}{2024}$ 中，得到：
$a^{2} - 2025a + \frac{a^{2} + 1}{2024}$
$= 2024a - 1 - 2025a + \frac{2024a}{2024}$
$= -a - 1 + a$
$= -1$
故答案为：$-1$。