《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版贵州专版》

10. 关于函数 $ y = 2x^{2} - 3 $，$ y = -\frac{1}{2}x^{2} $ 的图象及性质，下列说法不正确的是 ()


A.它们的对称轴都是 $ y $ 轴
B.对于函数 $ y = -\frac{1}{2}x^{2} $，当 $ x ＞ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
C.抛物线 $ y = 2x^{2} - 3 $ 不能由抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^{2} $ 平移得到
D.抛物线 $ y = 2x^{2} - 3 $ 的开口比抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^{2} $ 的开口大

答案： D

11. 一次函数 $ y = x + a $ 与二次函数 $ y = ax^{2} - a $ 在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ()

答案： B

12. (2023·广东) 如图，抛物线 $ y = ax^{2} + c $ 经过正方形 $ OABC $ 的三个顶点 $ A $，$ B $，$ C $，点 $ B $ 在 $ y $ 轴上，则 $ ac $ 的值为 ()


A.-1
B.-2
C.-3
D.-4

答案： B

13. 若抛物线 $ y = ax^{2} + c $ 与抛物线 $ y = -4x^{2} + 3 $ 关于 $ x $ 轴对称，则 $ a = $ ，$c = $ 。

答案： 4；-3

14. 已知二次函数 $ y = ax^{2} + 3 $，当 $ x $ 分别取 $ x_{1} $，$ x_{2} $（$ x_{1} \neq x_{2} $）时，函数值相等，则当 $ x = x_{1} + x_{2} $ 时，函数值为 。

答案： 3

15. 如图，抛物线 $ y = -x^{2} + 4 $ 与 $ x $ 轴交于 $ A $，$ B $ 两点，与 $ y $ 轴交于点 $ C $，四边形 $ ABCD $ 为平行四边形。
（1）求 $ A $，$ B $，$ C $ 三点的坐标。
（2）若抛物线向上平移后恰好经过点 $ D $，求平移后抛物线的解析式。

答案： （1）在$y=-x^{2}+4$中,令$x=0$,则$y=4$;令$y=0$,则$-x^{2}+4=0$,解得$x_{1}=2,x_{2}=-2$.
∴$A(-2,0),B(2,0),C(0,4)$.
(2)
∵四边形ABCD是平行四边形,$AB=4,C(0,4)$,
∴$CD=AB=4,CD// AB$.
∴$D(-4,4)$.设平移后抛物线的解析式为$y=-x^{2}+4+m$,则$4=-(-4)^{2}+4+m$,解得$m=16$.
∴平移后抛物线的解析式为$y=-x^{2}+20$.

16. 如图，已知正比例函数 $ y = 2x $ 的图象与抛物线 $ y = ax^{2} + 3 $ 相交于点 $ A(1, b) $。
（1）求 $ a $，$ b $ 的值。
（2）若点 $ B(m, 4) $ 在函数 $ y = 2x $ 的图象上，抛物线 $ y = ax^{2} + 3 $ 的顶点是 $ C $，求 $ \triangle ABC $ 的面积。
（3）若 $ P $ 是 $ x $ 轴上一个动点，则当 $ PA + PC $ 最小时，点 $ P $ 的坐标为 。

答案： （1）
∵点$A(1,b)$在函数$y=2x$的图象上,
∴$b=2×1=2$.
∴$A(1,2)$.
∵点$A(1,2)$在抛物线$y=ax^{2}+3$上,
∴$2=a+3$,解得$a=-1$. （2）
∵点$B(m,4)$在函数$y=2x$的图象上,
∴$4=2m$,解得$m=2$.
∴$B(2,4)$.
∵抛物线$y=-x^{2}+3$的顶点是C,
∴$C(0,3)$.
∴$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle OBC}-S_{\triangle OAC}=\frac {1}{2}×3×2-\frac {1}{2}×3×1=3-\frac {3}{2}=\frac {3}{2}$. （3）$(\frac {3}{5},0)$