《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版贵州专版》

11. 用反证法证明命题“直角三角形中的两个锐角互余”时，应先假设直角三角形中的两个锐角不互余.

答案： 11.直角三角形中的两个锐角不互余

12. 反证法是数学证明的一种重要方法. 请将下面运用反证法进行证明的过程补全.
已知：在$ \triangle ABC $中，$ AB = AC $. 求证：$ \angle B ＜ 90^{\circ} $.
证明：假设∠B≥90°.
$ \because AB = AC $，
$ \therefore \angle B = \angle C \geq 90^{\circ} $.
$ \therefore \angle A + \angle B + \angle C ＞ 180^{\circ} $.
这与三角形内角和定理(或三角形的内角和等于180°)相矛盾.
$ \therefore $此假设不成立.
$ \therefore \angle B ＜ 90^{\circ} $.

答案： 12.∠B≥90° 三角形内角和定理(或三角形的内角和等于180°) 此假设

13. 已知点 $ P $ 不在⊙O 上，且点 $ P $ 到⊙O 上的点的最小距离是 $ 4 \, cm $，最大距离是 $ 9 \, cm $，则⊙O 的直径是13 cm或5 cm.

答案： 13.13 cm或5 cm

14. 已知⊙O 的半径为 1，点 $ P $ 到圆心 $ O $ 的距离为 $ d $. 若关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - 2x + d = 0 $ 没有实数根，则点 $ P $(B)

A.在⊙O 的内部
B.在⊙O 的外部
C.在⊙O 上
D.在⊙O 上或在⊙O 的内部

答案： 14.B

15. (2024·遵义期末)如图，在 $ Rt \triangle ABC $ 中，$ \angle C = 90^{\circ} $，$ BC = 3 $，$ AC = 4 $，$ P $ 是边 $ AC $ 上的一个动点，以点 $ P $ 为圆心，$ PA $ 的长为半径作圆. 若使点 $ C $ 在⊙P 内且点 $ B $ 在⊙P 外，则⊙P 的半径可以是(C)

A.$ \frac{3}{2} $
B.2
C.$ \frac{12}{5} $
D.$ \frac{25}{8} $

答案： 15.C

16. 如图，将 $ \triangle ABC $ 放在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 $ A $，$ B $，$ C $ 均在格点上(网格线的交点)，用一个圆面去覆盖 $ \triangle ABC $，则能够完全覆盖这个三角形的最小圆的半径是$\sqrt{5}$.

答案： 16.$\sqrt{5}$

17. 新考向 真实情境 如图，要把残破的圆片复原完整. 已知弧上的三点 $ A $，$ B $，$ C $.
(1)用尺规作图法找出$\overset{\frown}{BAC}$所在圆的圆心.（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若 $ \triangle ABC $ 是等腰三角形，底边 $ BC = 8 \, cm $，腰 $ AB = 5 \, cm $，求圆片的半径 $ R $.

答案： 17.解:
(1)分别作AB,AC的垂直平分线,设交点为O,则点O为所求圆的圆心.
(2)连接AO,BO,AO交BC于点E.
∵AB=AC,
∴$\widehat{AB}=\widehat{AC}$.
∴OA⊥BC,BE=$\frac{1}{2}$BC=4 cm.在Rt△ABE中,AE=$\sqrt{AB^2-BE^2}$=$\sqrt{5^2-4^2}$=3(cm).在Rt△BEO中,OB²=BE²+OE²,即R²=4²+(R-3)²,解得R=$\frac{25}{6}$.
∴圆片的半径R为$\frac{25}{6}$cm.

18. 如图，⊙O 是 $ \triangle ABD $ 的外接圆，$ AE $，$ BE $ 分别平分 $ \angle BAD $ 和 $ \angle ABD $，延长 $ AE $ 交⊙O 于点 $ C $，连接 $ CB $，$ CD $，$ ED $.
(1)若 $ \angle CBD = 40^{\circ} $，求 $ \angle BAD $ 的度数.
(2)求证：点 $ C $ 是 $ \triangle BDE $ 的外心.

答案： 18.解:
(1)
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAD=2∠CAD.
∵∠CAD=∠CBD=40°,
∴∠BAD=80°.
(2)证明:
∵AE,BE分别平分∠BAD和∠ABD,
∴∠BAC=∠DAC,∠ABE=∠DBE.
∴$\widehat{BC}=\widehat{CD}$.
∴BC=CD.
∵∠CBD=∠CAD,
∴∠CBD=∠BAC.
∴∠CBE=∠CBD+∠DBE=∠BAC+∠ABE=∠BEC.
∴BC=EC.
∴BC=EC=DC.
∴点B,E,D在以点C为圆心的同一个圆上.
∴点C是△BDE的外心.