《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版贵州专版》

1. (2023·黔南期末)已知抛物线与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C(0,3).
(1)求抛物线的解析式.
(2)如图,若P是第一象限内抛物线上一动点,过点P作PD⊥BC于点D,求线段PD长的最大值.

答案： 1.解:
(1)设y=a(x+1)(x-3),将点C(0,3)代入,得-3a=3,解得a=-1.
∴y=-x²+2x+3.
(2)过P作PE⊥x轴于点E,交BC于点F,
∵B(3,0),C(0,3),
∴OB=OC=3.
∴∠OBC=45°.
∵PD⊥BC,
∴∠DPF=45°.
∴DF=DP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PF.设直线BC的解析式为y=kx+b,
∴$\begin{cases}b=3,\\3k+b=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=3.\end{cases}$
∴y=-x+3.设P(t,-t²+2t+3),则F(t,-t+3),
∴PF=-t²+2t+3+t-3=-t²+3t.
∴DP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$(-t²+3t)=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$(t-$\frac{3}{2}$)²+$\frac{9\sqrt{2}}{8}$.
∴当t=$\frac{3}{2}$时,DP的长有最大值,最大值为$\frac{9\sqrt{2}}{8}$.

2. (2024·遵义汇川区期末节选)如图,抛物线 $ y = ax^2 + x + c $ 经过坐标轴上A,B(0,4),C(4,0)三点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)E是直线BC上方抛物线上一动点,连接BE,CE,求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标.

答案： 2.解:
(1)将B(0,4),C(4,0)代入y=ax²+x+c,得$\begin{cases}c=4,\\16a+4+c=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{2},\\c=4.\end{cases}$
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4.
(2)设直线BC的解析式为y=kx+b,将B(0,4),C(4,0)代入y=kx+b,得$\begin{cases}b=4,\\4k+b=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=4.\end{cases}$
∴直线BC的解析式为y=-x+4.过点E作EG//y轴交BC于点G.设E(t,-$\frac{1}{2}$t²+t+4)(0＜t＜4),则G(t,-t+4),
∴EG=-$\frac{1}{2}$t²+t+4-(-t+4)=-$\frac{1}{2}$t²+2t.
∴S△BCE=$\frac{1}{2}$EG·(xC-xB)=$\frac{1}{2}$×(-$\frac{1}{2}$t²+2t)×4=-t²+4t=-(t-2)²+4.
∴当t=2时,△BCE的面积有最大值4,此时E(2,4).