《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版贵州专版》

11. 小阳和小北用配方法解一元二次方程 $4x^{2}-4x - 3 = 0$ 的过程如下：
小阳：$4x^{2}-4x - 3 = 0\rightarrow4x^{2}-4x + 1 = 3 + 1\rightarrow(2x - 1)^{2}=4\rightarrow$解得 $x_{1}=\frac{3}{2}$，$x_{2}=-\frac{1}{2}$；
小北：$4x^{2}-4x - 3 = 0\rightarrow4(x^{2}-x+\frac{1}{4})=3+\frac{1}{4}\rightarrow4(x-\frac{1}{2})^{2}=4\rightarrow$解得 $x_{1}=\frac{3}{2}$，$x_{2}=-\frac{1}{2}$.
对于小阳和小北的解答过程，下列判断正确的是 (C)

A.只有小阳对
B.只有小北对
C.两人都对
D.两人都不对

答案： 11.C

12. 规定：$a\otimes b=(a + b)b$. 如：$2\otimes3=(2 + 3)×3 = 15$. 若 $2\otimes x = 3$，则 $x=$1或$-3$.

答案： 12.1或$-3$

13. 若一元二次方程 $x^{2}-4x - 1596 = 0$ 的两根为 $a$，$b$，且 $a＞b$，则 $3a + b$ 的值为88.

答案： 13.88

14. 用配方法解下列方程：
(1) $x^{2}-6x + 1 = 4x - 8$.
(2) $2x(x - 5)=2x + 6$.

答案： 14.解:
(1)$x^{2}-10x=-9$,$x^{2}-10x+25=-9+25$,即$(x-5)^{2}=16$.$\therefore x-5=\pm 4$.$\therefore x_{1}=9$,$x_{2}=1$.
(2)$2x^{2}-12x=6$,$x^{2}-6x=3$,$x^{2}-6x+9=3+9$,即$(x-3)^{2}=12$.$\therefore x-3=\pm 2\sqrt{3}$.$\therefore x_{1}=3+2\sqrt{3}$,$x_{2}=3-2\sqrt{3}$.

15. 已知方程 $x^{2}-8x + m = 0$ 可以通过配方写成 $(x - n)^{2}=6$ 的形式，求方程 $x^{2}+8x + m = 6$ 的解.

答案： 15.解:$\because (x-n)^{2}=6$,$\therefore x^{2}-2nx+n^{2}-6=0$.$\because$方程$x^{2}-8x+m=0$可以通过配方写成$(x-n)^{2}=6$的形式,$\therefore \begin{cases} -2n=-8, \\ n^{2}-6=m, \end{cases}$解得$\begin{cases} m=10, \\ n=4. \end{cases}$把$m=10$代入$x^{2}+8x+m=6$,得$x^{2}+8x+10=6$,即$x^{2}+8x=-4$.配方,得$x^{2}+8x+16=-4+16$,即$(x+4)^{2}=12$.解得$x_{1}=-4+2\sqrt{3}$,$x_{2}=-4-2\sqrt{3}$.

【例】填空：
(1) $x^{2}+4x + 8=(x+$2$)^{2}+$4. $\because$ 不论 $x$ 取何值，$(x+$2$)^{2}$ 总是非负数，即 $(x+$2$)^{2}\geq0$，$\therefore(x+$2$)^{2}+$4$\geq$4. $\therefore$ 当 $x=$$-2$时，$x^{2}+4x + 8$ 有最小值为4. $\therefore$ 原式子的值必为正数. (填“正”或“负”)
(2) $-x^{2}+2x + 4=-(x-$1$)^{2}+$5. $\because$ 不论 $x$ 取何值，$-(x-$1$)^{2}$ 总是非正数，即 $-(x-$1$)^{2}\leq0$，$\therefore-(x-$1$)^{2}+$5$\leq$5. $\therefore$ 当 $x=$1时，$-x^{2}+2x + 4$ 有最大值为5.
【方法归纳】用配方法求代数式的最值，需要把代数式配方成 $a(x + h)^{2}+k$ 的形式，当 $a＞0$，$x=-h$ 时，该代数式有最小值 $k$；当 $a＜0$，$x=-h$ 时，该代数式有最大值 $k$.

答案： 【例】
(1)2 4 2 2 2 4 4 $-2$ 4 正
(2)1 5 1 1 1 5 5 1 5

1. 不论 $a$ 为何实数，多项式 $a^{2}+3a + 5$ 的值一定是 (A)

A.正数
B.负数
C.0
D.不能确定

答案： 1.A

2. 对于代数式 $-3x^{2}-6x + 1$，当 $x=$-1时，代数式有最大(填“大”或“小”)值，其值为4.

答案： 2.$-1$ 大 4

3. 设 $a$，$b$ 为实数，求代数式 $a^{2}+b^{2}-4a - 2b + 6$ 的最小值.

答案： 3.解:$a^{2}+b^{2}-4a-2b+6=a^{2}-4a+4+b^{2}-2b+1+1=(a-2)^{2}+(b-1)^{2}+1$.$\because (a-2)^{2}\geq 0$,$(b-1)^{2}\geq 0$,$\therefore (a-2)^{2}+(b-1)^{2}+1\geq 1$.$\therefore$代数式$a^{2}+b^{2}-4a-2b+6$的最小值为1.